《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

10. 如图所示，在四边形ABCD中，$ AD // BC $，$ BC \perp CD $，$ AD = 6cm $，$ BC = 10cm $。点E从A出发，以$ 1cm/s $的速度向点D运动。点F从点B出发，以$ 2cm/s $的速度向点C运动。当其中一点到达终点时，另一点也随之停止。设运动时间为$ t s $。
(1) 当t取何值时，四边形EFCD为矩形？
(2) M是BC上一点，且$ BM = 4cm $，当t取何值时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形？

答案： 10.解：
(1)当DE=CF时，四边形EFCD为矩形，则有6-t=10-2t，解得t=4.
答：当t=4时，四边形EFCD为矩形.
(2)①当点F在线段BM上，AE=FM时，以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t=4-2t，解得t=$\frac{4}{3}$.
②当点F在线段CM上，AE=FM时，以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t=2t-4，解得t=4.
综上所述，当t=4或$\frac{4}{3}$时，以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形.

1. 下列说法正确的是(D)

A.矩形的对角线互相垂直且平分
B.矩形的邻边一定相等
C.对角线相等的四边形是矩形
D.有三个角为直角的四边形为矩形

答案： 1.D

2. 如图所示，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线 $ AC $，$ BD $ 就可以判断，其推理依据是(D)


A.矩形的对角线相等
B.矩形的四个角是直角
C.对角线相等的四边形是矩形
D.对角线相等的平行四边形是矩形

答案： 2.D

3. 如图所示，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AB = CD $，$ AD = BC $，连接 $ AC $，$ BD $，$ AC $ 与 $ BD $ 相交于点 $ O $。若 $ OA = OD = 5 $，$ AB = 6 $，则四边形 $ ABCD $ 的面积为(C)

A.$ 24 $
B.$ 36 $
C.$ 48 $
D.$ 60 $

答案： 3.C

4. 如图所示，在平行四边形 $ ABCD $ 中，对角线 $ AC $，$ BD $ 相交于点 $ O $，且 $ OA = OB $。若 $ \angle OAD = 57^{\circ} $，则 $ \angle ODC = $33°。

答案： 4.33°

5. 如图所示，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ D $ 是 $ BC $ 的中点，$ CE // AD $，$ AE \perp AD $，$ EF \perp AC $。
(1)求证：四边形 $ ADCE $ 是矩形。
(2)若 $ BC = 4 $，$ CE = 3 $，求 $ EF $ 的长。

答案： 5.
(1)证明：$\because$在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，
$\therefore AD\perp BC$，即$\angle ADC=\angle ADB=90^{\circ}$.
$\because CE// AD$，$\therefore \angle ECD=\angle ADB=90^{\circ}$.
$\because AE\perp AD$，$\therefore \angle EAD=90^{\circ}$.
$\therefore \angle ADC=\angle ECD=\angle EAD=90^{\circ}$.
$\therefore$四边形$ADCE$是矩形.
(2)解：$\because$在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，$BC=4$，
$\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC=2$.
由
(1)可知四边形$ADCE$是矩形，
$\therefore AE=CD=2$，$\angle AEC=90^{\circ}$.
在$Rt\triangle AEC$中，$AE=2$，$CE=3$，
由勾股定理得$AC=\sqrt{AE^{2}+CE^{2}}=\sqrt{13}$.
$\because EF\perp AC$，
由三角形的面积公式得$S_{\triangle AEC}=\frac{1}{2}AC· EF=\frac{1}{2}AE· CE$，
$\therefore EF=\frac{AE· CE}{AC}=\frac{2×3}{\sqrt{13}}=\frac{6\sqrt{13}}{13}$.