《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

11. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(3k + 1)x + 2k^{2}+2k = 0$。
(1) 求证：无论 $k$ 取何值，方程总有实数根。
(2) 若等腰三角形的底边长为 $3$，另两边长恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长。

答案： 11.
(1)证明：
∵$Δ=b^{2}-4ac=[-(3k + 1)]^{2}-4·(2k^{2}+2k)=k^{2}-2k + 1=(k - 1)^{2}≥0，$
∴无论k取何值，方程总有实数根.
(2)解：
∵等腰三角形的底边长为3，
∴另两边长即为等腰三角形的腰长.
∵另两边长恰好是这个方程的两根，
∴该方程有两个相等的实数根.
∴$[-(3k + 1)]^{2}-4·(2k^{2}+2k)=k^{2}-2k + 1=(k - 1)^{2}=0，$
解得k=1.
将k=1代入方程，得$x^{2}-4x + 4=0，$
解得$x_{1}=x_{2}=2.$
此时△ABC的三边长为3,2,2，
则周长为3 + 2 + 2=7.

1. 用一条 7 m 长的铝材(厚度忽略不计)制成一个面积为 3 m² 的矩形窗框,设窗框的一边长为 x m,则下列方程正确的是(D)

A.$x(7 - x) = 3$
B.$x(7 - 2x) = 3$
C.$x(3.5 + x) = 3$
D.$x(3.5 - x) = 3$

答案： 1.D

2. 一个直角三角形的两条直角边长相差 3 cm，面积是 9 cm²，则较长的直角边的长为(D)

A.$\sqrt{3}$ cm
B.$2\sqrt{3}$ cm
C.3 cm
D.6 cm

答案： 2.D

3. 梯形的下底比上底长 3 cm，高比上底短 1 cm，面积为 25 cm²，如果设上底长为 x cm，依题意可得方程__________。

答案： $3.\frac{1}{2}(x+x+3)(x-1)=25$

4. 如图所示，一矩形花坛一边靠墙，长 4 m，宽 3 m，为便于游客赏花，另外三边铺设宽度相等的甬路，若甬路的面积恰好等于花坛的面积，求甬路的宽度。

答案： 4.解：设甬路的宽度为$x$m，则围成的大矩形的长为$(4+2x)$m，宽为$(3+x)$m，
由题意得$(4+2x)(3+x)=4×3×2$，
整理得$x^{2}+5x-6=0$，
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-6$（不符合题意，舍去）。
答：甬路的宽度为1m。

5. 如图所示，用 20 m 长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园(墙足够长)，设矩形的一边 AB 的长度为 x m。
(1) 矩形的边 BC =(20-2x)m。(含 x 的代数式表示)
(2) 怎样围成一个面积为 50 m² 的矩形菜园？

答案： 5.
(1)$(20-2x)$
(2)解：由题意得$x(20-2x)=50$，
整理得$x^{2}-10x+25=0$，
解得$x_{1}=x_{2}=5$，
$\therefore BC=20-2x=20-2×5=10(m)$。
答：AB的长为5m，BC的长为10m，就可以围成一个面积为$50m^2$的矩形菜园。