《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

8. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (k - 2)x^{2} + 3x + k^{2} - 4 = 0 $ 的常数项为 $ 0 $，则 $ k $ 的值为(A)

A.$ -2 $
B.2
C.2或$ -2 $
D.4或$ -2 $

答案： 8.A

9. 若方程 $ (m + 3)x^{|m + 1|} - 2x = 1 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程，则 $ m $ 的值为( )

A.$ -3 $
B.1
C.$ -1 $
D.3

答案： 9.B

10. 若 $ x^{|m - 1|} - x - 5 = 0 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程，则 $ m $ 的值为3或$-1$.

答案： 10.3或$-1$

11. 已知关于 $ x $ 的方程 $ (m - \sqrt{3})x^{m^{2} - 1} - x = 3 $.
(1) 当 $ m $ 为何值时，该方程是关于 $ x $ 的一元一次方程？
(2) 当 $ m $ 为何值时，该方程是关于 $ x $ 的一元二次方程？

答案： 11.解：
(1)由题意得$m^{2}-1=1$，
解得$m=\pm\sqrt{2}$，
当$m=\pm\sqrt{2}$时，该方程是一元一次方程；
$m-\sqrt{3}=0$，解得$m=\sqrt{3}$，
当$m=\sqrt{3}$时，该方程是一元一次方程；
$m^{2}-1=0$，解得$m=\pm1$，
当$m=\pm1$时，该方程是一元一次方程.
综上所述，当$m$的值为$\pm\sqrt{2}$或$\sqrt{3}$或$\pm1$时，该方程为一元一次方程.
(2)由题意得$m^{2}-1=2$且$m-\sqrt{3}\neq0$，
解得$m=-\sqrt{3}$，
当$m=-\sqrt{3}$时，该方程是关于$x$的一元二次方程.

12. 试证明无论 $ a $ 取何值，关于 $ x $ 的方程 $ (a^{2} - 8a + 20)x^{2} + 2ax + 1 = 0 $ 都是一元二次方程.

答案： 12.证明：$\because a^{2}-8a + 20=(a - 4)^{2}+4\geqslant4$，
$\therefore$无论$a$取何值，$a^{2}-8a + 20\geqslant4$，即无论$a$取何值，原方程的二次项系数都不会等于$0$.
$\therefore$无论$a$取何值，关于$x$的方程$(a^{2}-8a + 20)x^{2}+2ax + 1 = 0$都是一元二次方程.

13. 将4个数 $ a,b,c,d $ 排成2行2列，两边各加一条竖线，记成 $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} $，定义 $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $. 上述记法就叫作二阶行列式. 那么 $ \begin{vmatrix} x + 1 & x + 2 \\ x - 2 & 2x \end{vmatrix} = 22 $ 表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式.

答案： 13.解：根据题意得$(x + 1)·2x-(x + 2)(x - 2)=22$，
整理得$2x^{2}+2x-x^{2}+4=22$，
即$x^{2}+2x-18=0$，
它是一元二次方程.