《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

4. 若菱形 $ABCD$ 的周长为 $12$，则边长 $AB=$3。

答案： 4.3

5. 已知一个菱形的两条对角线长分别为 $7\mathrm{cm}$ 和 $8\mathrm{cm}$，则这个菱形的面积为28 $cm^2$。

答案： 5.28 $cm^2$

6. 如图所示，在菱形 $ABCD$ 中，$AE\perp BC$，$AF\perp CD$，垂足分别为 $E$，$F$。求证：$\triangle ABE\cong\triangle ADF$。

答案： 6.证明：$\because$四边形ABCD是菱形，
$\therefore \angle B = \angle D$，$AB = AD$.
又$\because AE\perp BC$，$AF\perp CD$，
$\therefore \angle AEB = \angle AFD = 90^{\circ}$.
在$\triangle ABE$和$\triangle ADF$中，
$\begin{cases}\angle B = \angle D,\\\angle AEB = \angle AFD,\\AB = AD,\end{cases}$
$\therefore \triangle ABE\cong\triangle ADF(AAS)$.

7. 如图所示，在平面直角坐标系中，菱形 $OABC$ 的顶点 $C$ 的坐标是 $(1,\sqrt{3})$，则顶点 $B$ 的坐标是$(-1,\sqrt{3})$。

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答案： 7.$(-1,\sqrt{3})$

8. 如图所示，在菱形 $ABCD$ 中，过点 $D$ 作 $AB$，$BC$ 的垂线，分别交 $BA$ 的延长线于点 $E$，$BC$ 的延长线于点 $F$。

(1) 求证：$\triangle ADE\cong\triangle CDF$。
(2) 若 $DF = 4$，$BC = 5$，求 $\triangle BED$ 的面积。

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答案： 8.
(1)证明：$\because$四边形ABCD是菱形，
$\therefore \angle ABD = \angle CBD$，$AD = CD$.
$\because DE\perp BA$，$DF\perp BC$，
$\therefore DE = DF$.
在$Rt\triangle ADE$和$Rt\triangle CDF$中，
$\begin{cases}AD = CD,\\DE = DF,\end{cases}$
$\therefore Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle CDF(HL)$.
(2)解：$\because Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle CDF$，
$\therefore DE = DF = 4$.
$\because AB = AD = BC = 5$，
$\therefore AE = \sqrt{AD^2 - DE^2} = 3$.
$\therefore BE = AB + AE = 5 + 3 = 8$.
$\therefore \triangle BED$的面积$=\frac{1}{2}BE· DE = \frac{1}{2}×8×4 = 16$.

9. 如图所示，在菱形 $ABCD$ 中，$\angle A = 60^{\circ}$，$AB = 4$，$E$，$F$ 分别为 $AD$，$DC$ 上的动点，$\angle EBF = 60^{\circ}$，点 $E$ 从点 $A$ 向点 $D$ 运动的过程中，$AE + CF$ 的长度(D)


A.逐渐增加
B.先减小再增加
C.恒等于 $4\sqrt{3}$
D.恒等于 $4$

答案： 9.D

10. 如图所示，在菱形 $ABCD$ 中，$E$ 是边 $BC$ 上一点，$AE$ 交 $BD$ 于点 $F$，若 $\angle AEC=\angle C = 3\angle ADB$，则下列结论正确的是①②③。
① $AE = AB$
② $EF = EC$
③ $S_{四边形CDFE}=2S_{\triangle ABF}$
④ 等腰三角形有 $5$ 个

答案： 10.①②③