《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

6. 如图所示，在$ □ ABCD $中，$ CE \perp AB $，$ AF \perp CD $，垂足分别为E，F。求证：四边形AECF是矩形。

答案： 6.证明：
∵CE⊥AB,AF⊥CD,
∴∠AEC=∠AFC=∠AFD=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD.
∴∠FAE=∠AFD=90°.
∴∠AEC=∠AFC=∠FAE=90°.
∴四边形AECF是矩形.

7. 如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，且$ BM = DN $，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件可以是(B)


A.$ MB = MO $
B.$ OM = \frac{1}{2}AC $
C.$ BD \perp AC $
D.$ \angle AMB = \angle CND $

答案： 7.B

8. 如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD应具备的条件是对角线互相垂直。

答案： 8.对角线互相垂直

9. 如图所示，将$ □ ABCD $的边AB延长到点E，使$ BE = AB $，连接DE，交边BC于点F。
(1) 求证：$ \triangle BEF \cong \triangle CDF $。
(2) 连接BD，CE，若$ \angle BFD = 2\angle A $，求证：四边形BECD是矩形。

答案： 9.证明：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AB//CD.
∵BE=AB,
∴BE=CD.
∵AB//CD，
∴∠BEF=∠CDF,∠EBF=∠DCF.
在△BEF与△CDF中，
∵$\begin{cases}∠BEF=∠CDF,\\BE=CD,\\∠EBF=∠DCF,\end{cases}$
∴△BEF≌△CDF(ASA).
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,AB=CD,∠A=∠DCB.
∵AB=BE,
∴CD=EB.
∴四边形BECD是平行四边形.
∴BF=CF,EF=DF.
∵∠BFD=2∠A,
∴∠BFD=2∠DCB.
∴∠DCB=∠FDC.
∴DF=CF.
∴DE=BC.
∴四边形BECD是矩形.