《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

3. 如图所示，四边形$ABCD$的对角线$CA$平分$\angle BCD$，补充下列条件后仍不能判定$\triangle ADC$和$\triangle BAC$相似的是(D)


A.$\angle ADC=\angle BAC$
B.$\angle DAC=\angle ABC$
C.$AC^{2}=BC· CD$
D.$\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{AC}$

答案： 3.D

4. 如图所示，在$\triangle ABC$中，$AB = 8\mathrm{cm}$，$BC = 16\mathrm{cm}$，动点$P$从点$A$开始沿$AB$边运动，速度为$2\mathrm{cm}/\mathrm{s}$，动点$Q$从点$B$开始沿$BC$边运动，速度为$4\mathrm{cm}/\mathrm{s}$。如果$P$，$Q$两动点同时运动，那么经过2或0.8$\mathrm{s}$时$\triangle QBP$与$\triangle ABC$相似。

答案： 4.2或0.8 解析：设经过ts时，△QBP与△ABC相似，则AP=2tcm，BP=(8-2t)cm，BQ=4tcm。
∵∠PBQ=∠ABC，
∴当$\frac{BP}{BA}=\frac{QB}{BC}$时，△BPQ∽△BAC，
即$\frac{8-2t}{8}=\frac{4t}{16}$，解得t=2；
当$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$时，△BPQ∽△BCA，
即$\frac{8-2t}{16}=\frac{4t}{8}$，解得t=0.8。
即经过2s或0.8s时，△QBP与△ABC相似。

5. 如图所示，在四边形$ABCD$中，对角线$AC$平分$\angle BAD$，$AB = 9$，$AC = 6$，则要使$\triangle ABC\backsim\triangle ACD$，只要$AD =$4。

答案： 5.4

6. 如图所示，这是一个零件的剖面图，已知零件的外径为$10\mathrm{cm}$，为求出它的厚度$x$，现用一个交叉卡钳($AC$和$BD$的长相等)去测量零件的内孔直径$AB$。如果$\frac{OC}{OA}=\frac{OD}{OB}=\frac{1}{3}$，且量得$CD$的长是$3\mathrm{cm}$，那么零件的厚度$x=$0.5$\mathrm{cm}$。

答案： 6.0.5 解析：
∵$\frac{OC}{OA}=\frac{OD}{OB}=\frac{1}{3}$，∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△AOB。
∴AB:CD=3。
∵CD=3cm。
∴AB=9cm。
∵某零件的外径为10cm，
∴零件的厚度$x=(10-9)÷2=0.5$(cm)。

7. 如图所示，$P$为$\triangle ABC$边$BC$上的中线$AD$上的一点，且$BD^{2}=PD· AD$，求证：$\triangle ADC\backsim\triangle CDP$。

答案： 7.证明：
∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴BD=CD。
∵$BD^{2}=PD· AD$，
∴$CD^{2}=PD· AD$，即$\frac{CD}{PD}=\frac{AD}{CD}$。
又
∵∠CDP=∠ADC，
∴△ADC∽△CDP。

8. 如图所示，点$E$，$F$分别在正方形$ABCD$的边$BC$，$CD$上，$BE = 3$，$EC = 6$，$CF = 2$。求证：$\triangle ABE\backsim\triangle ECF$。

答案： 8.证明：
∵BE=3，EC=6，
∴BC=9。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB=9，∠B=∠C=90°。
∴$\frac{AB}{EC}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$，$\frac{BE}{CF}=\frac{BE}{3}=\frac{3}{2}$，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECF。

9. 如图所示，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$D$是$AC$的中点，点$E$在$AB$上，且$\frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}$，连接$BD$，$DE$，求证：$\triangle AED\backsim\triangle ADB$。

答案： 9.证明：
∵D是AC的中点，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$。
∵$\frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}$，AB=AC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AD}$。
∵∠EAD=∠DAB，
∴△AED∽△ADB。