《2025年新课程学习与检测九年级数学上册》

6.当一元二次方程的一边为$0$，而另一边易分解成两个一次因式的乘积时，令每个因式分别等于$0$，得到两个一元一次方程，从而实现降次，这种解法叫作因式分解法.

答案： 6.一元一次方程

7.关于$x$的方程$x(x-1)+3(x-1)=0$的解是x₁=1,x₂=-3.

答案： 7.x₁=1,x₂=-3

8.如图所示，在菱形$ABCD$中，对角线$BD$的长为$8$，菱形的边长是方程$x^{2}-9x+20=0$的一个根，求该菱形的面积.

答案： 8.解:
∵x² -9x +20=0可化为(x -4)(x -5)=0,
∴x -4=0或x -5=0,解得x₁=4,x₂=5.
当菱形的边长是4时,
∵4 +4=8,
∴不能组成三角形.
∴该菱形的边长是5.
连接AC,交BD于点O(图略),
在菱形ABCD中,
∵$AC⊥BD,OD=\frac{1}{2}BD=4,$
∴$OA=\sqrt{AD^{2}-OD^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3.$
∴AC=2OA=6.
∴$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC·BD=\frac{1}{2}×6×8=24.$

9.如图所示，将两个长方形用不同方式拼成图1和图2两个图形.
(1)若图1中阴影部分的面积为$a^{2}-b^{2}$，则图2中阴影部分的面积为$($用含字母$a,b$的代数式表示$)$.
(2)由$(1)$可以得到的等式是________.
(3)根据你所得到的等式，解决下面的问题.
①若$x^{2}-y^{2}=16,x-y=2$，则$x+y=$；
②计算：$77.75^{2}-22.25^{2}$；
③解方程：$(x+1)^{2}-(x-1)^{2}=-8$.

答案： 9.
(1)(a +b)(a -b)
(2)a² -b²=(a +b)(a -b)
(3)①8
②解:77.75² -22.25²
=(77.75 +22.25)(77.75 -22.25)
=100×55.5
=5550.
③解:
∵(x +1)² -(x -1)²=-8,
∴(x +1+x -1)(x +1 -x +1)=-8.
∴4x=-8,解得x=-2.