《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

如图，在平行六面体 OABC - O'A'B'C'中，$\overrightarrow{OA}=a$，$\overrightarrow{OC}=b$，$\overrightarrow{OO'}=c$，设 G，H 分别是侧面 BB'C'C 和底面 O'A'B'C'的中心，则向量$\overrightarrow{AC'}=$________，向量$\overrightarrow{GH}=$______（均用含 a，b，c 的式子表示）.

答案： $b + c - a ; \frac{1}{2}c - \frac{1}{2}b$

例 如图 1.2 - 2，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥ 底面 ABCD，PD = DC = 1，E，F，G 分别是 PC，BD，PD 的中点.
（1）求证：PA // EF；
（2）求证：PB ⊥ DE；
（3）求 EF 与 AG 所成的角的余弦值.

答案： 分析：（1）要证 PA // EF，只需证$\overrightarrow{PA}$和$\overrightarrow{EF}$共线. 设$\overrightarrow{DA}=i$，$\overrightarrow{DC}=j$，$\overrightarrow{DP}=k$，则 {i，j，k} 构成空间的一个单位正交基底，把$\overrightarrow{PA}$和$\overrightarrow{EF}$分别用基向量表示，即可证明它们共线.
（2）要证 PB ⊥ DE，只需证$\overrightarrow{PB}·\overrightarrow{DE}=0$. 把$\overrightarrow{PB}$和$\overrightarrow{DE}$分别用基向量表示，然后计算$\overrightarrow{PB}·\overrightarrow{DE}$即可.
（3）要求 EF 与 AG 所成的角的余弦值，只需求$\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{GA}$所成的角的余弦值.
（1）证明：设$\overrightarrow{DA}=i$，$\overrightarrow{DC}=j$，$\overrightarrow{DP}=k$，则 {i，j，k} 构成空间的一个单位正交基底. 所以
$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DP}=i - k$.
$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EP}+\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DF}$
$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DP}-\overrightarrow{DC})-\overrightarrow{DP}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC})$
$=\frac{1}{2}(k - j) - k+\frac{1}{2}(i + j)$
$=\frac{1}{2}i-\frac{1}{2}k$.
所以$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PA}$.
所以 PA // EF.
（2）证明：因为
$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DP}$
$=i + j - k$，
$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DP})=\frac{1}{2}j+\frac{1}{2}k$，
所以
$\overrightarrow{PB}·\overrightarrow{DE}$
$=(i + j - k)·(\frac{1}{2}j+\frac{1}{2}k)$
$=\frac{1}{2}i· j+\frac{1}{2}i· k+\frac{1}{2}j· j+\frac{1}{2}j· k-\frac{1}{2}j· k-\frac{1}{2}k· k$
$=\frac{1}{2}×0+\frac{1}{2}×0+\frac{1}{2}×1+\frac{1}{2}×0-\frac{1}{2}×0-\frac{1}{2}×1$
$=0$.
所以 PB ⊥ DE.
（3）解：因为
$\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DG}=i-\frac{1}{2}k$，
所以
$\cos\langle\overrightarrow{EF},\overrightarrow{GA}\rangle=\frac{\overrightarrow{EF}·\overrightarrow{GA}}{|\overrightarrow{EF}||\overrightarrow{GA}|}$
$=\frac{(\frac{1}{2}i-\frac{1}{2}k)·(i-\frac{1}{2}k)}{\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{5}}{2}}$
$=\frac{3\sqrt{10}}{10}$.
所以 EF 与 AG 所成的角的余弦值为$\frac{3\sqrt{10}}{10}$.
评析：此类问题可通过观察图形，选定空间不共面的三个向量构成一个基底，将相关向量用基向量表示，并通过基向量的运算解决问题.