《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

例 已知三棱锥 $A - BCD$ 的底面 $\triangle BCD$ 是以点 $C$ 为直角顶点的等腰直角三角形. $O$ 为线段 $BD$ 的中点，$AO\perp$ 平面 $BCD$，$AB = 5$，$AO = 4$. 建立如图 1.3 - 1 所示的空间直角坐标系 $Oxyz$.
（1）写出 $A,B,C,D$ 四点的坐标；
（2）设 $M$ 为 $AB$ 的中点，$G$ 为 $\triangle BCD$ 的重心，写出 $\overrightarrow{GM}$ 的坐标.

答案： 分析：（1）要求点的坐标，首先考虑到点在空间直角坐标系的坐标轴上，所以只需求出各点离原点 $O$ 的距离，根据几何条件即可求解.（2）等腰直角三角形 $BCD$ 的重心 $G$ 是中线 $OC$ 的一个三等分点，故 $OG = 1$，再由 $\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OM}$ 即可得出结论.
解：（1）$\triangle BCD$ 是以点 $C$ 为直角顶点的等腰直角三角形，$O$ 为线段 $BD$ 的中点，所以 $OB = OC = OD$. 又因为 $AO\perp$ 平面 $BCD$，所以 $AO\perp OB$，$AO\perp OC$，$AO\perp OD$.
在 $Rt\triangle AOB$ 中，$\angle AOB = 90^{\circ}$，$AB = 5$，$AO = 4$，所以 $OB = 3$，$OC = OD = 3$. 易得 $AB = AC = AD = 5$.
因为点 $C$ 在 $x$ 轴上，且 $OC = 3$，所以 $\overrightarrow{OC}=3i + 0j + 0k$. 从而点 $C$ 的坐标是 $(3,0,0)$. 同理，可得 $D(0,3,0)$，$A(0,0,4)$，$B(0,-3,0)$.
（2）因为点 $G$ 为 $\triangle BCD$ 的重心，所以点 $G$ 在 $OC$ 上，且 $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$. 所以
$\begin{aligned}\overrightarrow{GM}&=\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{GO}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}\\&=-i+\left(-\frac{3}{2}j\right)+2k\\&=\left(-1,-\frac{3}{2},2\right).\end{aligned}$
评析：选择单位正交基底建立空间直角坐标系后，若求任意点 $P$（向量 $\overrightarrow{OP}$）的坐标，则只需分别求出 $\overrightarrow{OP}$ 在 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴上的投影向量坐标 $x,y,z$，那么点 $P$（向量 $\overrightarrow{OP}$）的坐标为 $(x,y,z)$.

变式：如图 1.3 - 2，在三棱柱 $ABC - A'B'C'$ 中底面 $\triangle A'B'C'$ 是以 $B'$ 为直角顶点的等腰直角三角形，顶点 $A$ 在底面的射影 $O$ 为 $A'C'$ 的中点，$AC = 6$，$AO = 4$. 建立如图 1.3 - 2 所示的空间直角坐标系，写出三棱柱 $ABC - A'B'C'$ 各顶点的坐标.

答案： 提示与答案：在 $Rt\triangle A'B'C'$ 中，$OA' = OB' = OC'=\frac{1}{2}AC = 3$，所以 $B'(3,0,0)$，$C'(0,3,0)$，$A'(0,-3,0)$. 由 $AO = 4$，得 $A(0,0,4)$. 由已知可证，$BB'\perp OB'$，$BA\perp AO$，$BC'\perp OC'$，所以 $\overrightarrow{OB}$ 在 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴上的投影向量分别为 $\overrightarrow{OB'}=3i$，$\overrightarrow{OC'}=3j$，$\overrightarrow{OA}=4k$，所以 $B(3,3,4)$. 通过投影容易得到 $C(0,6,4)$.