《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

例 若方程 $ x^2 + y^2 - 4(1 - a)x + 4ay = 0 $ 表示圆，求实数 $ a $ 的取值范围，并求出圆的面积最小时相应圆的圆心坐标和半径.

答案： 分析：根据方程 $ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 $ 表示圆的条件 $ D^2 + E^2 - 4F ＞ 0 $，可解得 $ a $ 的范围；要使圆的面积最小，半径需最小，通过将方程配方可得到半径 $ r $ 关于 $ a $ 的函数关系式，从而可求得半径的最小值和圆心坐标.
解：因为 $ [-4(1 - a)]^2 + (4a)^2 = 16(1 - a)^2 + 16a^2 $，对任意 $ a \in \mathbf{R} $，$ 16(1 - a)^2 + 16a^2 ＞ 0 $，所以对任意 $ a \in \mathbf{R} $，方程 $ x^2 + y^2 - 4(1 - a)x + 4ay = 0 $ 都表示圆.
将方程 $ x^2 + y^2 - 4(1 - a)x + 4ay = 0 $ 配方，得
$[x - 2(1 - a)]^2 + (y + 2a)^2 = 4(2a^2 - 2a + 1).$
所以圆心为 $ (2(1 - a), -2a) $，半径 $ r = \sqrt{4(2a^2 - 2a + 1)} = \sqrt{8\left( a - \frac{1}{2} \right)^2 + 2} $.
当 $ a = \frac{1}{2} $ 时，圆的半径最小，圆的面积也最小. 此时，半径为 $ \sqrt{2} $，圆心坐标为 $ (1,-1) $.
所以，当圆心坐标为 $ (1,-1) $，半径为 $ \sqrt{2} $ 时，圆的面积最小.
评析：本例问题的实质，一是根据圆的一般方程求参数的取值范围；二是通过圆的两种方程的互化，求特定条件下圆的半径和圆心坐标.

1. 已知一个圆经过 $ O(0,0) $，$ A(2,0) $，$ B(0,-2) $ 三点，那么该圆的方程是（ ）.

A.$ x^2 + y^2 + 2x - 2y = 0 $
B.$ x^2 + y^2 - 2x + 2y = 0 $
C.$ x^2 + y^2 + 2x + 2y = 0 $
D.$ x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0 $

答案： 1.B
【解析】设圆的方程为$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$.
由题意，得$\begin{cases}F = 0, \\4 + 2D + F = 0, \\4 - 2E + F = 0,\end{cases}$
所以$\begin{cases}D = -2, \\E = 2, \\F = 0,\end{cases}$
故圆的方程为$x^2 + y^2 - 2x + 2y = 0$.