《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

1. 直线 $ y = x + 1 $ 与圆 $ x^2 + y^2 + 2y - 3 = 0 $ 交于 $ A $，$ B $ 两点，则 $ |AB| = $______.

答案： 1. $2\sqrt{2}$
[解析]由题意知圆的方程为$x²+(y + 1)² = 4$，所以圆心坐标为$(0, -1)$，半径为$2$，则圆心到直线$y = x + 1$的距离$d = \frac{\vert -1 - 1\vert}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，所以$\vert AB\vert = 2\sqrt{2^{2}-(\sqrt{2})^{2}} = 2\sqrt{2}$。

2. 直线 $ 3x - 4y + 6 = 0 $ 与圆 $ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 1 $ 的位置关系是（ ）.

A.相离
B.相切
C.相交且过圆心
D.相交但不过圆心

答案： 2. C
[解析]因为圆$(x - 2)^{2}+(y - 3)^{2}=4$，所以圆心坐标为$(2,3)$，半径$r = 2$。
因为圆心到直线$3x - 4y + 6 = 0$的距离$d=\frac{\vert3×2 - 4×3 + 6\vert}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=0$，故直线与圆相交且过圆心。

3. 已知圆 $ x^2 - 4ax + y^2 = 0 $（$ a ＞ 0 $）与直线 $ l $：$ x - \sqrt{3}y + 3 = 0 $ 相切，则 $ a = $______.

答案： 3. $\frac{3}{2}$
[解析]圆心坐标为$(2a,0)$，半径$r = 2a$，圆心到直线$l$的距离$d=\frac{\vert2a + 3\vert}{2}$。因为直线$l$与圆相切，所以$\frac{\vert2a + 3\vert}{2}=2a$，解得$a=\frac{3}{2}$。

4. 圆 $ x^2 + y^2 - 4x = 0 $ 在点 $ P(1, \sqrt{3}) $ 处的切线方程为（ ）.

A.$ x + \sqrt{3}y - 2 = 0 $
B.$ x + \sqrt{3}y - 4 = 0 $
C.$ x - \sqrt{3}y + 4 = 0 $
D.$ x - \sqrt{3}y + 2 = 0 $

答案： 4. D
[解析]将$P(1,\sqrt{3})$代入$x^{2}+y^{2}-4x = 0$，等式成立，
所以点$P$在圆上，即$P$为切点。圆$x^{2}+y^{2}-4x = 0$的圆心坐标是$(2,0)$，
所以切点与圆心连线的斜率为$\frac{\sqrt{3}-0}{1 - 2}=-\sqrt{3}$。
所以切线的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，切线方程为$y - \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}(x - 1)$，即$x - \sqrt{3}y + 2 = 0$。
易错点分析
如果所求切线过某已知点$M$，那么务必弄清该点在圆上还是在圆外。
(1)如果点$M$在圆上，那么圆心和点$M$的连线和切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得切线方程；
(2)如果点$M$在圆外，过这点的切线将有两条，但在设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有条过这点的切线的斜率不存在。

5. 求经过点 $ A(2, - 1) $ 与直线 $ x + y = 1 $ 相切，且圆心在直线 $ y = - 2x $ 上的圆的方程.

答案： 5. 设所求圆心坐标为$(a,-2a)$，由题意可得$\sqrt{(a - 2)^{2}+(-2a + 1)^{2}}=\frac{\vert a - 2a - 1\vert}{\sqrt{2}}$，解得$a = 1$。所以圆心为$(1,-2)$，半径为$\sqrt{2}$，所求圆的方程为$(x - 1)^{2}+(y + 2)^{2}=2$。

1. 过点 $ P(2, 4) $ 作圆 $ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1 $ 的切线，则切线方程为______.

答案： 1. $x = 2$或$4x - 3y + 4 = 0$
[解析]当直线的斜率不存在时，直线方程为$x = 2$，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为$y - 4 = k(x - 2)$，即$kx - y + 4 - 2k = 0$。因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即$d=\frac{\vert k - 1 + 4 - 2k\vert}{\sqrt{k^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\vert3 - k\vert}{\sqrt{k^{2}+1}} = 1$，解得$k=\frac{4}{3}$，所以所求切线方程为$\frac{4}{3}x - y + 4 - 2×\frac{4}{3}=0$，即$4x - 3y + 4 = 0$。

2. 过圆 $ x^2 + y^2 = 8 $ 内的点 $ P(- 1, 2) $ 作直线 $ l $ 交圆于 $ A $，$ B $ 两点. 若直线 $ l $ 的倾斜角为 $ 135^{\circ} $，则弦 $ AB $ 的长为______.

答案： 2. $\sqrt{30}$
[解析]
(1)方法一(交点法)：
由题意知直线$l$的方程为$y - 2 = -(x + 1)$，即$x + y - 1 = 0$。
由$\begin{cases}x + y - 1 = 0\\x^{2}+y^{2}=8\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{15}}{2}\\y=\frac{1-\sqrt{15}}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x=\frac{1-\sqrt{15}}{2}\\y=\frac{1+\sqrt{15}}{2}\end{cases}$
即$A(\frac{1+\sqrt{15}}{2},\frac{1-\sqrt{15}}{2})$，$B(\frac{1-\sqrt{15}}{2},\frac{1+\sqrt{15}}{2})$。所以$\vert AB\vert=\sqrt{(\frac{1-\sqrt{15}}{2}-\frac{1+\sqrt{15}}{2})^{2}+(\frac{1+\sqrt{15}}{2}-\frac{1-\sqrt{15}}{2})^{2}}=\sqrt{30}$。
方法二(弦长公式)：
由题意知直线$l$的方程为$y - 2 = -(x + 1)$，即$x + y - 1 = 0$。
由$\begin{cases}x + y - 1 = 0\\x^{2}+y^{2}=8\end{cases}$消去$y$，得$2x^{2}-2x - 7 = 0$。
设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，所以$x_{1}+x_{2}=1$，$x_{1}x_{2}=-\frac{7}{2}$。
所以$\vert AB\vert=\sqrt{1 + k^{2}}·\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{1 + 1}×\sqrt{1^{2}-4×(-\frac{7}{2})}=\sqrt{30}$。
方法三(几何法)：
由题意知直线$l$的方程为$y - 2 = -(x + 1)$，即$x + y - 1 = 0$，
圆心$O(0,0)$到直线$l$的距离是$d=\frac{\vert - 1\vert}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则$\vert AB\vert=2\sqrt{r^{2}-d^{2}}=2\sqrt{8-\frac{1}{2}}=\sqrt{30}$。

3. 已知圆 $ C $：$ x^2 + y^2 - 8y + 12 = 0 $，直线 $ l $：$ ax + y + 2a = 0 $.
（1）当 $ a $ 为何值时，直线 $ l $ 与圆 $ C $ 相切?
（2）当直线 $ l $ 与圆 $ C $ 相交于 $ A $，$ B $ 两点，且 $ |AB| = 2\sqrt{2} $ 时，求直线 $ l $ 的方程.

答案： 3. 将圆$C$的方程$x^{2}+y^{2}-8y + 12 = 0$配方，得标准方程为$x^{2}+(y - 4)^{2}=4$，则此圆的圆心为$(0,4)$，半径为$2$。
(1)若直线$l$与圆$C$相切，
则$\frac{\vert4 + 2a\vert}{\sqrt{a^{2}+1}}=2$，解得$a=-\frac{3}{4}$。
(2)过圆心$C$作$CD\perp AB$(图略)，则根据题意和圆的性质，
$\vert CD\vert=\frac{\vert4 + 2a\vert}{\sqrt{a^{2}+1}}$，
$\vert CD\vert^{2}+\vert DA\vert^{2}=\vert AC\vert^{2}=2^{2}$，$\vert DA\vert=\frac{1}{2}\vert AB\vert=\sqrt{2}$，
解得$a = - 7$或$a = - 1$。
故所求直线方程为$7x - y + 14 = 0$或$x - y + 2 = 0$。