《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

例 （1）已知直线 $ l_1 $ 经过点 $ A(1, -1) $，$ B(\frac{2}{a}, 1) $，直线 $ l_2 $ 经过点 $ P(1, a) $，$ Q(0, -1) $，若直线 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 没有公共点，求实数 $ a $ 的值.
（2）已知直线 $ l_1 $ 经过原点 $ O $，其方向向量为 $ \boldsymbol{a} = (m, -1) $，直线 $ l_2 $ 经过点 $ A(1, 3) $，其方向向量为 $ \boldsymbol{b} = (1, m) $，直线 $ l_1 $ 与直线 $ l_2 $ 交于点 $ P $，求 $ |PO|^2 + |PA|^2 $ 的值.

答案：
分析：（1）若平面上两条直线没有公共点，则这两条直线平行，利用它们的斜率相等，或倾斜角相等可建立关于 $ a $ 的等式，即可求出 $ a $ 的值. （2）根据所给直线 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 的方向向量，可以得到它们的数量积为 $ 0 $，从而得出直线 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 互相垂直，即 $ \angle APO = 90° $，进而在 $ Rt \triangle APO $ 中利用勾股定理求出 $ |PO|^2 + |PA|^2 $ 的值.
解：（1）如果 $ a = 2 $，那么直线 $ l_1 $ 垂直于 $ x $ 轴，而由直线 $ l_2 $ 经过点 $ P(1, a) $，$ Q(0, -1) $，可得直线 $ l_2 $ 不垂直于 $ x $ 轴，因此直线 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 相交. 这与题设矛盾，所以 $ a \neq 2 $，从而得出直线 $ l_1 $，$ l_2 $ 的斜率存在.
由直线 $ l_1 $ 经过点 $ A(1, -1) $，$ B(\frac{2}{a}, 1) $，得 $ l_1 $ 的斜率为 $ k_1 = \frac{2}{\frac{2}{a} - 1} $.
由直线 $ l_2 $ 经过点 $ P(1, a) $，$ Q(0, -1) $，得 $ l_2 $ 的斜率为 $ k_2 = a + 1 $.
因为直线 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 没有公共点，所以 $ k_1 = k_2 $. 所以
$\frac{2}{\frac{2}{a} - 1} = a + 1$
化简得
$a^2 + a - 2 = 0$
解得 $ a = 1 $ 或 $ a = -2 $.
经检验，当 $ a = 1 $ 或 $ a = -2 $ 时，直线 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 都不重合，故均满足题意.
所以 $ a = 1 $ 或 $ a = -2 $.
（2）由直线 $ l_1 $ 的方向向量为 $ \boldsymbol{a} = (m, -1) $，直线 $ l_2 $ 的方向向量为 $ \boldsymbol{b} = (1, m) $，可得 $ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = (m, -1) · (1, m) = 0 $，即 $ \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} $，所以直线 $ l_1 $ 与直线 $ l_2 $ 垂直.
又因为两条直线相交于点 $ P $，所以 $ \angle APO = 90° $.
如图 2.1 - 2，在 $ Rt \triangle APO $ 中，由勾股定理得
$|PO|^2 + |PA|^2 = |OA|^2 = 10$
评析：当一个问题中出现两条以上直线时，要关注这些直线间的位置关系，比如它们是否平行或垂直，直线的平行与垂直关系可通过斜率之间的关系来刻画.

1. 若过点 $ A(2, -2) $，$ B(5, 0) $ 的直线与过点 $ P(2m, 1) $，$ Q(-1, -m) $ 的直线平行，则 $ m $ 的值为（ ）.

A.$ -1 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ \frac{1}{2} $

答案： 1. B
【解析】由题意，kAB = $\frac{2}{3}=k_{PQ}=\frac{-m - 1}{-1 - 2m}$(m≠ -$\frac{1}{2}$).所以m = 1.