《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

1. 点 $ (0, 10) $ 到直线 $ y = 2x $ 的距离是______.

答案： 1.$2\sqrt{5}$
【解析】直线方程的一般式为$2x - y = 0$，所以距离
$d = \frac{|2×0 - 10|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$。

2. 若点 $ (4, a) $ 到直线 $ 4x - 3y = 1 $ 的距离不大于 $ 3 $，则 $ a $ 的取值范围是______.

答案： 2.$[0,10]$
【解析】由题意，得$\frac{|4×4 - 3a - 1|}{\sqrt{4^2+3^2}}\leq3$，所以
$|-3a + 15|\leq15$，即$-15\leq-3a + 15\leq15$，所以$0\leq a\leq10$。

3. 点 $ P(x, y) $ 在直线 $ x + 2y - 4 = 0 $ 上，$ O $ 是原点，则 $ |OP| $ 的最小值为______.

答案： 3.$\frac{4}{5}\sqrt{5}$
【解析】由题意，$|OP|$的最小值即点$O$到直线的距
离，所以$d = \frac{|-4|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{4}{5}\sqrt{5}$。

4. 已知 $ A(3, 2) $ 和 $ B(-1, 4) $ 两点到直线 $ mx + y + 3 = 0 $ 的距离相等，则 $ m $ 的值为（ ）.

A.$ 0 $ 或 $ -\frac{1}{2} $
B.$ -6 $ 或 $ \frac{1}{2} $
C.$ \frac{1}{2} $ 或 $ -\frac{1}{2} $
D.$ 0 $ 或 $ \frac{1}{2} $

答案： 4.B
【解析】由题意，得$\frac{|3m + 2 + 3|}{\sqrt{m^2 + 1}}=\frac{|-m + 4 + 3|}{\sqrt{m^2 + 1}}$，所
以$m$的值为-6或$\frac{1}{2}$。
易错点分析
用点到直线的距离公式时应注意，直线的方程应
为一般式，若给出其他形式应化为一般式.

5. 已知点 $ P(-3, -1) $.
（1）求过点 $ P $ 且与原点的距离为 $ 3 $ 的直线方程；
（2）求过点 $ P $ 且与原点的距离最大的直线方程，并求出该最大距离；
（3）是否存在过点 $ P $ 且与原点的距离为 $ 6 $ 的直线？若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.

答案： 5.
(1)直线方程为$4x + 3y + 15 = 0$或$x = -3$.
(2)直线方程为$3x + y + 10 = 0$,最大距离为$\sqrt{10}$.
(3)由
(2)知，最大距离为$\sqrt{10}$，小于6，所以不存在满
足题意的直线.

1. 设直线 $ l: (3a - 1)x - (a - 2)y - 5 = 0 $，则原点 $ O $ 到直线 $ l $ 的距离的最大值为______.

答案： 1.$\sqrt{10}$
【解析】原点$O$到直线的距离$d = \frac{5}{\sqrt{(3a - 1)^2+(a - 2)^2}}=\frac{5}{\sqrt{10(a - \frac{1}{2})^2+\frac{5}{2}}}\leq\sqrt{10}$，当且仅当$a = \frac{1}{2}$时，等号成立.

2. 设点 $ P $ 在直线 $ x + 3y = 0 $ 上，且点 $ P $ 到原点的距离与点 $ P $ 到直线 $ x + 3y - 2 = 0 $ 的距离相等，则点 $ P $ 的坐标是__________.

答案： 2.$(-\frac{3}{5},\frac{1}{5})$或$(\frac{3}{5},-\frac{1}{5})$
【解析】设点$P$的坐标为$(-3a,a)$，
由题意，得$\sqrt{(-3a)^2+a^2}=\frac{|-3a + 3a - 2|}{\sqrt{10}}$
即$10a^2=\frac{2}{5}$，解得$a = \pm\frac{1}{5}$，
故$P(-\frac{3}{5},\frac{1}{5})$或$(\frac{3}{5},-\frac{1}{5})$。