《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

1. 已知正方体 ABCD - A₁B₁C₁D₁，则 A₁B 与 AD₁ 所成的角为（ ）.

A.30°
B.45°
C.60°
D.90°

答案： 1. C

2. 已知 {i，j，k} 是空间的一个单位正交基底，且$\overrightarrow{OA}=i + j + 2k$，$\overrightarrow{OB}=2i + 3j + k$，则$|\overrightarrow{AB}|=$（ ）.

A.1
B.2
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{6}$

答案： 2. D

3. 如图，在三棱柱 ABC - A₁B₁C₁ 中，∠ACC₁ = ∠C C₁B₁ = 60°，侧面 ACC₁A₁ 与侧面 CBB₁C₁ 都是边长为 2 的菱形.
（1）求证：AB₁ ⊥ CC₁；
（2）若 AB₁ = $\sqrt{6}$，求直线 CA 与 C₁B₁ 夹角的余弦值.

答案： 3.
(1)以$\{ \overrightarrow{CB},\overrightarrow{CC_1},\overrightarrow{CA}\}$为基底，则$\overrightarrow{AB_1} = \overrightarrow{CB_1} - \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CC_1} - \overrightarrow{CA}$.又因为侧面$CBB_1C_1$为菱形，则$\overrightarrow{CB}$与$\overrightarrow{CC_1}$的夹角为$120°$.$\overrightarrow{AB_1} · \overrightarrow{CC_1} = ( \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CC_1} - \overrightarrow{CA}) · \overrightarrow{CC_1} = 0$，所以$AB_1 \perp CC_1$.
(2)设$\overrightarrow{CB}$与$\overrightarrow{CA}$的夹角为$\alpha$，$\overrightarrow{CA}$与$\overrightarrow{C_1B_1}$的夹角为$\beta$，则$\alpha = \beta$，直线$CA$与$C_1B_1$夹角的余弦值为$| \cos \beta|$.以$\{ \overrightarrow{CB},\overrightarrow{CC_1},\overrightarrow{CA}\}$为基底，由
(1)得$| \overrightarrow{AB_1}|^2 = ( \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CC_1} - \overrightarrow{CA})^2 = 4 - 8\cos \beta$.因为$| \overrightarrow{AB_1}| = \sqrt{6}$，所以$\cos \beta = - \frac{1}{4}$.所以直线$CA$与$C_1B_1$夹角的余弦值为$\frac{1}{4}$.