《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

2. 若方程 $ x^2 + y^2 + ax + 2ay + 2a^2 + a - 1 = 0 $ 表示圆，则 $ a $ 的取值范围是（ ）.

A.$ a ＜ -2 $ 或 $ a ＞ \frac{2}{3} $
B.$ -\frac{2}{3} ＜ a ＜ 2 $
C.$ -2 ＜ a ＜ 0 $
D.$ -2 ＜ a ＜ \frac{2}{3} $

答案： 2.D
【解析】因为方程$x^2 + y^2 + ax + 2ay + 2a^2 + a - 1 = 0$表示圆，
所以$a^2 + 4a^2 - 4(2a^2 + a - 1) ＞ 0$，
所以$3a^2 + 4a - 4 ＜ 0$，所以$-2 ＜ a ＜ \frac{2}{3}$.

3. 若直线 $ mx + 2ny - 4 = 0 $ 始终平分圆 $ x^2 + y^2 - 4x - 2y - 4 = 0 $ 的周长，则 $ m + n = $__________.

答案： 3.2
【解析】由$x^2 + y^2 - 4x - 2y - 4 = 0$，得圆心的坐标为$(2,1)$，
又直线$mx + 2ny - 4 = 0$始终平分圆$x^2 + y^2 - 4x - 2y - 4 = 0$的周长，
所以圆心$(2,1)$在直线$mx + 2ny - 4 = 0$上，
可得$2m + 2n - 4 = 0$，即$m + n = 2$.

4. 已知方程 $ x^2 + y^2 + (\sqrt{3}t + 1)x + ty + t^2 - 2 = 0 $ 表示一个圆.
（1）求实数 $ t $ 的取值范围；
（2）若圆的半径为 $ 2 $，求 $ t $ 的值.

答案： 4.
(1)因为方程$x^2 + y^2 + (\sqrt{3}t + 1)x + ty + t^2 - 2 = 0$表示一个圆，
所以$D^2 + E^2 - 4F = (\sqrt{3}t + 1)^2 + t^2 - 4(t^2 - 2) = 2\sqrt{3}t + 9 ＞ 0$，
所以$t ＞ -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
(2)设圆的半径为$r$，则$r = \frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F} = \frac{1}{2}\sqrt{2\sqrt{3}t + 9} = 2$，
所以$t = \frac{7\sqrt{3}}{6}$.

已知点 $ P(4,1) $ 在圆 $ x^2 + y^2 - 4x + 2ay + b = 0 $ 上，点 $ P $ 关于直线 $ x + y - 3 = 0 $ 的对称点也在此圆上，则 $ a = $__________，$ b = $__________.

答案： $-1;1$
【解析】设点$P(4,1)$关于直线$x + y - 3 = 0$的对称点是$P'(x_0,y_0)$，
则直线$PP'$的斜率$k = \frac{y_0 - 1}{x_0 - 4} = 1$. ①
又线段$PP'$的中点$M(\frac{x_0 + 4}{2},\frac{y_0 + 1}{2})$在直线$x + y - 3 = 0$上，
所以$\frac{x_0 + 4}{2} + \frac{y_0 + 1}{2} - 3 = 0$. ②
由①②解得$x_0 = 2,y_0 = -1$，
所以$P'(2,-1)$.
所以将两点的坐标代入圆的方程$x^2 + y^2 - 4x + 2ay + b = 0$，得$\begin{cases}4^2 + 1^2 - 16 + 2a + b = 0, \\2^2 + (-1)^2 - 8 - 2a + b = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = -1, \\b = 1.\end{cases}$