《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

例 已知圆 $ C $：$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$.
（1）求过原点且被圆 $ C $ 截得的线段长为 $ 2\sqrt{3} $ 的直线方程；
（2）若直线 $ l $：$ ax - y + 4 = 0 $ 与圆 $ C $ 相切，求 $ a $ 的值.

答案：
分析：（1）已知直线被圆截得的弦长，可以由垂径定理求出圆心到直线的距离，也可以用点到直线的距离公式表示这个距离，从而求出直线的斜率.（2）解决直线与圆相切的问题有两种思路：一是联立直线与圆的方程，可得一个一元二次方程，由判别式 $ \Delta = 0 $ 可求 $ a $ 的值；二是由圆心到直线的距离等于半径也可求 $ a $ 的值.
解：（1）由圆 $ C $ 的方程可知其半径为 2.
如图 2.5 - 1，直线被圆 $ C $ 截得的线段 $ AB = 2\sqrt{3} $. 由垂径定理可得圆心 $ C $ 到直线 $ AB $ 的距离 $ d = \sqrt{4 - 3} = 1 $.
若所求直线的斜率存在，设直线方程为 $ y = kx $，则
$ d = \frac{|k - 2|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1 $，
解得 $ k = \frac{3}{4} $，所以直线方程为 $ y = \frac{3}{4}x $.
若所求直线斜率不存在，则直线方程为 $ x = 0 $，可知圆心 $ (1, 2) $ 到该直线的距离为 1，符合题意.
综上，所求直线方程为 $ y = \frac{3}{4}x $ 或 $ x = 0 $.
（2）当直线 $ l $：$ ax - y + 4 = 0 $ 与圆 $ C $ 相切时，则圆心 $ C $ 到直线 $ l $：$ ax - y + 4 = 0 $ 的距离等于半径，由此可得
$ d = \frac{|a - 2 + 4|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 2 $，
解得 $ a = 0 $ 或 $ a = \frac{4}{3} $.
评析：本题涉及直线与圆相交、相切两类问题. 直线与圆相交的弦长问题可运用垂径定理（直角三角形）解决，第（1）问求直线斜率时，也可先求出所截线段的两个端点的坐标，再利用两点间距离公式求解. 直线与圆相切的问题可根据直线与圆的方程联立所成的方程组有唯一一组实数解来确定，也可以由圆心到直线的距离等于半径来确定. 对于直线与圆相交、相切这两类问题，要根据具体条件具体分析，采用合适的方法求解.