《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

例 已知$\triangle ABC$的顶点$A(8,-2)$，$B(-2,5)$，$C(2,3)$.
（1）若点$P(3,m)$在直线$AB$上，求$m$的值；
（2）求$BC$边上的中线所在的直线方程.

答案： 分析：（1）点在直线上，则点的坐标满足直线方程，所以只要求出直线$AB$的方程，将点$P$的坐标代入方程即可求出$m$的值.（2）$BC$边上的中线由$BC$边的中点与点$A$确定，根据直线的两点式方程可求解.
解：（1）过$A(8,-2)$，$B(-2,5)$两点的直线方程为
$\frac{y + 2}{5 + 2} = \frac{x - 8}{-2 - 8}$，
整理，得$7x + 10y - 36 = 0$.
由点$P(3,m)$在直线$AB$上，得$7×3 + 10m - 36 = 0$，解得$m = \frac{3}{2}$.
（2）$BC$边的中点$D$的坐标为$(\frac{-2 + 2}{2},\frac{5 + 3}{2})$，即$(0,4)$，所以$BC$边上的中线$AD$所在的直线方程为
$\frac{y - 4}{-2 - 4} = \frac{x - 0}{8 - 0}$，
整理，得$3x + 4y - 16 = 0$.
所以$BC$边上的中线$AD$所在的直线方程为$3x + 4y - 16 = 0$.
评析：只要知道直线上两点的坐标，就可由两点式求得直线方程；也可以由两点坐标先求得直线斜率，再由点斜式求得直线方程.

1. 经过点$A(2,5)$，$B(1,7)$的直线与$x$轴交点的横坐标为（ ）.

A.$9$
B.$-9$
C.$\frac{9}{2}$
D.$-\frac{9}{2}$

答案： 1. C
【解析】过 A,B 的直线方程为 $\frac{y - 5}{7 - 5}$ = $\frac{x - 2}{1 - 2}$.
化简，得 2x + y - 9 = 0.令 y = 0，得 x = $\frac{9}{2}$，即直线 AB 与 x 轴交点的横坐标.

2. 已知$\triangle ABC$的三个顶点分别为$A(1,2)$，$B(3,6)$，$C(5,2)$，$M$，$N$分别为边$AB$，$BC$的中点，则中位线$MN$所在直线的方程为__________.

答案： 2. y = 4
【解析】由题意，得 M(2,4)，N(4,4)，所以直线 MN 的方程为 y = 4.
易错点分析
要注意判断两点是否满足两点式方程的适用条件，即两点的连线不垂直于坐标轴.

3. 直线$l$过点$P(3,-2)$，且与$x$轴、$y$轴分别交于$A$，$B$两点，若$P$为线段$AB$的中点，则直线$l$的方程为__________.

答案： 3. 2x - 3y - 12 = 0
【解析】设 A(x,0)，B(0,y)，因为 P(3,-2)是 AB 的中点，所以 x = 6，y = -4.所以直线方程为 $\frac{x}{6}$ + $\frac{y}{-4}$ = 1，即 2x - 3y - 12 = 0.