《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

例 如图1.4−3，在四棱锥P−ABCD
中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面
ABCD，PD=CD，CE⊥PB，垂足为E.
F，G，H分别为BD，AD，PB的中点.
(1)求证:PB⊥平面CEF;
(2)四面体BCEF的4个面中有几个
是直角三角形？说明理由;
(3)求证:平面PBC⊥平面GHC.

答案：
(1)证明：以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设PD=2。
依题意得：B(2,2,0),C(0,2,0),F(1,1,0),P(0,0,2)。
则$\overrightarrow{CF}=(1,-1,0)$，$\overrightarrow{PB}=(2,2,-2)$。
$\overrightarrow{CF}·\overrightarrow{PB}=1×2+(-1)×2+0×(-2)=2-2+0=0$，故$PB\perp CF$。
又$CE\perp PB$，且$CE\cap CF=C$，$CE,CF\subset$平面$CEF$，
$\therefore PB\perp$平面$CEF$。
(2)四面体$BCEF$的4个面都是直角三角形。
理由如下：
$\because PB\perp$平面$CEF$，$\therefore BE\perp CE$，$BE\perp EF$，故$\triangle BEC,\triangle BEF$为直角三角形。
$F$为$BD$中点，$BD=(2,2,0)$，则$F(1,1,0)$，$\overrightarrow{BF}=(-1,-1,0)$，$\overrightarrow{CF}=(1,-1,0)$，$\overrightarrow{CF}·\overrightarrow{BF}=1×(-1)+(-1)×(-1)+0×0=0$，故$CF\perp BF$，$\triangle BFC$为直角三角形。
设$E$满足$\overrightarrow{PE}=\lambda\overrightarrow{PB}$，则$E(2\lambda,2\lambda,2-2\lambda)$，$\overrightarrow{CE}=(2\lambda,2\lambda-2,2-2\lambda)$。
由$CE\perp PB$得$\overrightarrow{CE}·\overrightarrow{PB}=4\lambda+4\lambda-4-4+4\lambda=0$，解得$\lambda=\frac{2}{3}$，$\therefore E\left(\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{2}{3}\right)$。
$\overrightarrow{FE}=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$，$\overrightarrow{CF}=(1,-1,0)$，$\overrightarrow{FE}·\overrightarrow{CF}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+0=0$，故$FE\perp CF$，$\triangle CEF$为直角三角形。
综上，4个面均为直角三角形。
(3)证明：依题意得$G(1,0,0)$，$H(1,1,1)$，则$\overrightarrow{BC}=(-2,0,0)$，$\overrightarrow{PC}=(0,2,-2)$，$\overrightarrow{GH}=(0,1,1)$，$\overrightarrow{CG}=(1,-2,0)$。
设平面$PBC$的法向量$\boldsymbol{n_1}=(x,y,z)$，则$\begin{cases}\boldsymbol{n_1}·\overrightarrow{BC}=-2x=0\\\boldsymbol{n_1}·\overrightarrow{PC}=2y-2z=0\end{cases}$，取$z=1$得$\boldsymbol{n_1}=(0,1,1)$。
设平面$GHC$的法向量$\boldsymbol{n_2}=(a,b,c)$，则$\begin{cases}\boldsymbol{n_2}·\overrightarrow{GH}=b+c=0\\\boldsymbol{n_2}·\overrightarrow{CG}=a-2b=0\end{cases}$，取$b=1$得$\boldsymbol{n_2}=(2,1,-1)$。
$\boldsymbol{n_1}·\boldsymbol{n_2}=0×2+1×1+1×(-1)=0$，故$\boldsymbol{n_1}\perp\boldsymbol{n_2}$，
$\therefore$平面$PBC\perp$平面$GHC$。