《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

4. 椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m}=1$的焦距等于$2$，则$m$的值为________.

答案： 4. 3或5
【解析】当焦点在$x$轴上时，$a^2 = 4$，$b^2 = m$。又因为
$2c = 2$，所以$c = 1$，所以$4 - m = 1$，$m = 3$。当焦点在$y$轴上
时，$a^2 = m$，$b^2 = 4$。又因为$2c = 2$，所以$c = 1$，所以$m - 4 = 1$，
所以$m = 5$。综上，$m$的值为3或5。

5. 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
（1）两个焦点坐标分别是$(0,-2)$，$(0,2)$，且过点$(-\frac{3}{2},\frac{5}{2})$；
（2）焦点在坐标轴上，经过两点$P(-\sqrt{3},2)$，$Q(2\sqrt{3},-1)$.

答案： 5.
(1)易知椭圆的焦点在$y$轴上，设椭圆的标准方程
为$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a ＞ b ＞ 0)$。
由椭圆的定义知$2a = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (\frac{5}{2} + 2)^2} +$
$\sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (\frac{5}{2} - 2)^2} = \frac{3\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{10}}{2} = 2\sqrt{10}$，所以
$a = \sqrt{10}$。又$c = 2$，所以$b^2 = a^2 - c^2 = 10 - 4 = 6$，故所求椭
圆的标准方程为$\frac{y^2}{10}+\frac{x^2}{6}=1$。
(2)设所求椭圆的方程为$mx^2 + ny^2 = 1(m ＞ 0,n ＞ 0)$，
由题意，得
$\begin{cases}3m + 4n = 1,\\12m + n = 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = \frac{1}{15},\\n = \frac{1}{5}.\end{cases}$所以所求的椭圆的标准方
程为$\frac{x^2}{15}+\frac{y^2}{5}=1$。
方法总结
1. 求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.
2. 利用定义法求椭圆方程时，要注意条件$2a ＞$
$|F_1F_2|$；利用待定系数法要先定形（焦点位置），再定
量，也可把椭圆方程设为$mx^2 + ny^2 = 1(m ＞ 0,n ＞ 0$，
$m \neq n)$的形式.

1. 已知$A$，$B$两点的坐标分别为$(0,-1)$，$(0,1)$，直线$MA$与$MB$的斜率之积为$-\frac{1}{2}$，则点$M$的轨迹方程是________________.

答案： 1. $\frac{x^2}{2}+y^2 = 1(x \neq 0)$
【解析】设$M(x,y)$，
因为$A$，$B$两点的坐标分别为$(0,-1)$，$(0,1)$，
直线$MA$与$MB$的斜率之积为$-\frac{1}{2}$，
则$\frac{y - 1}{x} · \frac{y + 1}{x} = -\frac{1}{2}$。
整理得$\frac{x^2}{2}+y^2 = 1(x \neq 0)$，
即点$M$的轨迹方程为$\frac{x^2}{2}+y^2 = 1(x \neq 0)$，

2. 设$F_1$，$F_2$分别是椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的左、右焦点，$P$是椭圆上一点，且$PF_1\perp PF_2$，则$\triangle PF_1F_2$的面积为________.

答案： 2. 9
【解析】因为$a = 5$，$b = 3$，所以$c = 4$。
设$|PF_1| = t_1$，$|PF_2| = t_2$，又$PF_1 \perp PF_2$，
则$t_1 + t_2 = 10$，①$t_1^2 + t_2^2 = 8^2$，②
由①² - ②，得$t_1t_2 = 18$。
所以$S_{\triangle PF_1F_2} = \frac{1}{2}t_1t_2 = \frac{1}{2} × 18 = 9$。

3. 已知圆心为$C$的圆$(x - 2)^2 + y^2 = 36$及点$A(-2,0)$，点$P$是圆上任意一点，线段$PA$的垂直平分线$l$与$PC$相交于点$Q$. 求点$Q$的轨迹方程.

答案： 3. 由题意可知，圆$C$的圆心为$C(2,0)$，半径为6。
因为直线$l$是$PA$的垂直平分线，点$Q$在直线$l$上，
所以$|PQ| = |AQ|$，所以$|AQ| + |CQ| = |PQ| +$
$|CQ| = |CP| = 6 ＞ 4$，
所以点$Q$的轨迹是以$A(-2,0)$，$C(2,0)$为焦点的椭
圆，其中$2a = 6$，$c = 2$。
所以$a = 3$，$b^2 = 5$。所以所求的椭圆方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$，
即点$Q$的轨迹方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$。