《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

例 如图1.4−1，在棱长为2的正方
体ABCD−AlBlClD1中，E，F，G分别
是BiC1，CiD1，BF的中点.以D为原
点，DA，DC，DD1所在直线分别为x
轴、y轴、z轴，建立如图1.4−1所示的
空间直角坐标系.
(1)写出点G的坐标;
(2)求直线DF的一个方向向量;
(3)判断CG是否为平面BDFE的法
向量？若是，说明理由;若不是，求平面
BDFE的一个法向量.

答案： 分析:
(1)由于G是BF的中点，则
点G的坐标可由点B和F的坐标得出.
(2)求直线DF的方向向量时只需在直线
DF上选取两点，特别情况下可选取点
D,F.
(3)若CG是平面BDFE的法向
量，则CG应与平面BDFE内两个不共线
的向量均垂直;若CG与平面BDFE内某
个向量不垂直，则CG不是平面BDFE的
法向量.
解:
(1)因为正方体的棱长为2，E,
F分别是BiC1，ClD1的中点，所以点
D，B，C，F的坐标分别为(O，O，0)，
(2,2,0)， (0,2,0)， (0,1,2).因
为G是BF的中点，所以由中点坐标公式
可得点G的坐标为(1,$\frac{3}{2}$”1).
(2)由点D，F的坐标分别为(O，0,
0)， (0,1,2)，得DF=(0，1,2)，即
(0，1，2)为直线DF的一个方向向量.
(3)由点C，G的坐标分别为(0，2,
0),(1,$\frac{3}{2}$”1),得CG=(1,$\frac{1}{2}$”1).
因为CG.DF=$\frac{3}{2}$,所以CG与DF
不垂直.所以CG不是平面BDFE的法
向量.
下面求平面BDFE的法向量.
设n=(x,y,z)是平面BDFE的
法向量，则
n⊥DF,,n⊥DB.
由点D，B的坐标分别为(O，0,
0)，(2，2，0)，得DB=(2，2，0).又
因为DF=(0，1，2)，所以
n.DF=y+2z=0,
n
{ .DB=2x+2y=0,,
所以
x=−y,
{z=−$\frac{1}{2}$y.
取y=2，则x=−2，N=−1.于是
n=(−2，2，−1)是平面BDFE的一个
法向量.
评析:求平面的法向量时，可先找到
确定平面的两个不共线向量，然后利用法
向量和它们的垂直关系，将问题转化为数
量积运算.本例的第
(3)题也可先求出
平面BDFE的一个法向量，再判断CG与
这个法向量是否共线，进而判断CG是否
为平面BDFE的法向量.