《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

例 求经过两条直线 $ x - y - 2 = 0 $ 和 $ x + y + 1 = 0 $ 的交点，且与直线 $ 3x - y + 1 = 0 $ 平行的直线 $ l $ 的方程.

答案： 分析：解方程组可求出两条相交直线的交点坐标，根据平行的直线斜率相等可得到所求直线的斜率，再用点斜式即可求得直线 $ l $ 的方程.
解：解方程组 $ \begin{cases} x - y - 2 = 0, \\ x + y + 1 = 0, \end{cases} $ 得 $ \begin{cases} x = \frac{1}{2}, \\ y = -\frac{3}{2}. \end{cases} $
所以直线 $ x - y - 2 = 0 $，$ x + y + 1 = 0 $ 的交点坐标为 $ (\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}) $.
因为直线 $ l $ 与直线 $ 3x - y + 1 = 0 $ 平行，所以直线 $ l $ 的斜率 $ k = 3 $.
所以直线 $ l $ 的方程为 $ y + \frac{3}{2} = 3(x - \frac{1}{2}) $，即 $ 3x - y - 3 = 0 $.

1. 直线 $ x + y - 5 = 0 $ 和直线 $ 2x + 3y - 13 = 0 $ 的交点坐标是______.

答案： 1.(2,3)
【解析】由题意可得方程组$\begin{cases}x + y - 5 = 0,\\2x + 3y - 13 = 0.\end{cases}$解此方
程组得$\begin{cases}x = 2,\\y = 3,\end{cases}$所以两条直线的交点坐标是(2,3)。

2. 若三条直线 $ 2x + 3y + 8 = 0 $，$ x - y - 1 = 0 $ 和 $ x + ky + 3 = 0 $ 相交于一点，则 $ k $ 的值是______.

答案： 2.1
【解析】由已知可得$\begin{cases}2x + 3y + 8 = 0,\\x - y - 1 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = -1,\\y = -2.\end{cases}$由
题意，点(-1,-2)也在直线$x + ky + 3 = 0$上，故$-1 - 2k + 3 = 0$，所以$k = 1$。

3. 若直线 $ 5x + 4y = 2m + 1 $ 与直线 $ 2x + 3y = m $ 的交点在第四象限，则实数 $ m $ 的取值范围是（ ）.

A.$ m ＜ 2 $
B.$ m ＞ \frac{3}{2} $
C.$ m ＜ -\frac{3}{2} $
D.$ -\frac{3}{2} ＜ m ＜ 2 $

答案： 3.D
【解析】由已知可得$\begin{cases}5x + 4y = 2m + 1,\\2x + 3y = m,\end{cases}$
解得两条直线
的交点坐标为$(\frac{2m + 3}{7},\frac{m - 2}{7})$。因为交点在第四象限，所以$\begin{cases}2m + 3 ＞ 0,\\m - 2 ＜ 0,\end{cases}$
所以$-\frac{3}{2} ＜ m ＜ 2$。

4. 若两条直线 $ (m + 2)x - y + m = 0 $，$ x + y = 0 $ 与 $ x $ 轴可以围成一个三角形，则实数 $ m $ 的取值范围是______________.

答案： 4.$(-\infty,-3)\cup(-3,-2)\cup(-2,0)\cup(0,+\infty)$
【解析】假设三条直线不能围成三角形，则$l_1// l_2$或
$l_1// l_3$或$l_2// l_3$，可求得$m = -3$或-2或0.故满足要求的
$m$的取值范围为$(-\infty,-3)\cup(-3,-2)\cup(-2,0)\cup(0,+\infty)$。

5. 求过两条直线 $ x + y - 8 = 0 $ 与 $ x - 2y + 1 = 0 $ 的交点，且在 $ y $ 轴上的截距等于在 $ x $ 轴上截距的 $ 2 $ 倍的直线 $ l $ 的方程.

答案： 5.由方程组$\begin{cases}x + y - 8 = 0,\\x - 2y + 1 = 0.\end{cases}$得$\begin{cases}x = 5,\\y = 3.\end{cases}$
当直线不过原点时，可设所求直线方程为$\frac{x}{m}+\frac{y}{2m}=1$，
代入交点(5,3)，得$m = \frac{13}{2}$，即直线$l$的方程为$2x + y -13 = 0$；
当直线过原点时，可设所求直线方程为$y = kx$，代入交
点(5,3)，得$k = \frac{3}{5}$，可得直线方程为$y = \frac{3}{5}x$，即直线$l$的
方程为$3x - 5y = 0$。

1. 不论 $ a $ 为何实数，直线 $ (a - 3)x + 2ay + 6 = 0 $ 恒过（ ）.

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 1.D
【解析】直线$(a - 3)x + 2ay + 6 = 0$可变形为$a(x +2y)+(6 - 3x)=0$，由$\begin{cases}x + 2y = 0,\\6 - 3x = 0\end{cases}$得$\begin{cases}x = 2,\\y = -1.\end{cases}$
故直线$(a - 3)x + 2ay + 6 = 0$恒过定点(2,-1)，又点
(2,-1)在第四象限，故该直线恒过第四象限.
方法总结
解决过定点问题的常用方法如下.
(1)点斜式法:将含参数的直线方程写成点斜式
$y - y_0 = k(x - x_0)$，则直线必过定点$(x_0,y_0)$；
(2)直线系法:将含参数的直线方程整理为过交点
的直线系方程$A_1x + B_1y + C_1+\lambda(A_2x + B_2y +C_2)=0$的形式，则该方程表示的直线必过直线$A_1x +B_1y + C_1 = 0$和$A_2x + B_2y + C_2 = 0$的交点，而此交点
就是定点.

2. 经过两直线 $ 2x - 3y - 3 = 0 $ 和 $ x + y + 2 = 0 $ 的交点且与直线 $ 3x + y - 1 = 0 $ 垂直的直线 $ l $ 的方程为________________.

答案： 2.$5x - 15y - 18 = 0$
【解析】由题意可得方程组$\begin{cases}2x - 3y - 3 = 0,\\x + y + 2 = 0,\end{cases}$
解得
$\begin{cases}x = -\frac{3}{5},\\y = -\frac{7}{5}.\end{cases}$
又所求直线与直线$3x + y - 1 = 0$垂直，故$k =\frac{1}{3}$，所以直线方程为$y + \frac{7}{5} = \frac{1}{3}(x + \frac{3}{5})$，即$5x - 15y -18 = 0$。