《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

2. 已知正方体 $ ABCD - A_1 B_1 C_1 D_1 $ 的棱长为 $ 1 $，则 $ \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC_1} = $（ ）.

A.$ 1 $
B.$ 0 $
C.$ -1 $
D.$ \sqrt{3} $

答案： 2.A
【解析$】\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AB}·(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC_1})=\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AB}=1.$

3. 已知 $ \boldsymbol{e}_1 $，$ \boldsymbol{e}_2 $ 是夹角为 $ 60^{\circ} $ 的两个单位向量，则 $ \boldsymbol{a} = \boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2 $ 与 $ \boldsymbol{b} = \boldsymbol{e}_1 - 2 \boldsymbol{e}_2 $ 的夹角为（ ）.

A.$ 60^{\circ} $
B.$ 120^{\circ} $
C.$ 30^{\circ} $
D.$ 90^{\circ} $

答案： 3.B
【解析$】a·b=(e₁+e₂)·(e₁-2e₂)=e₁²-e₁·e₂-2e₂²=1-1×1×\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2},$
|a|$=\sqrt{a²}=\sqrt{(e₁+e₂)²}=\sqrt{e₁²+2e₁·e₂+e₂²}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3},$
同理|b|$=\sqrt{3}.$
所以$cos⟨a,b⟩=\frac{a·b}{|a||b|}=\frac{-\frac{3}{2}}{3}=-\frac{1}{2}.$
所以⟨a,b⟩=120°.

4. 已知向量 $ \boldsymbol{a} $，$ \boldsymbol{b} $，$ \boldsymbol{c} $ 是两两垂直的单位向量，则 $ |\boldsymbol{a} - 2 \boldsymbol{b} + 3 \boldsymbol{c}| = $______.

答案： $4.\sqrt{14}$
【解析】由题意,|a+2b+3c|²=a²+(2b)²+(3c)²=14,所以|a-2b+3c|$²=\sqrt{14}.$

5. 已知在三棱锥 $ P - ABC $ 中，$ \angle APB = \angle APC $，$ PB = PC $，求证：$ PA \perp BC $.

答案： 5.因为$\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{PA}·(\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PC})=$|$\overrightarrow{PA}$||$\overrightarrow{PC}$|cos∠APC-|$\overrightarrow{PA}$||$\overrightarrow{PB}$|cos∠APB=0,所以PA⊥BC.

1. 在正方体 $ ABCD - A_1 B_1 C_1 D_1 $ 中，$ \overrightarrow{AC_1} $ 在平面 $ ABCD $ 上的投影向量为（ ）.

A.$ \overrightarrow{AB} $
B.$ \overrightarrow{AC} $
C.$ \overrightarrow{AD} $
D.$ \overrightarrow{AA_1} $

答案： 1.B
【解析】由已知可得CC₁⊥平面ABCD,所以$\overrightarrow{AC_1}$在平面ABCD上的投影向量为$\overrightarrow{AC}.$

2. 在棱长为 $ 1 $ 的正方体 $ ABCD - A_1 B_1 C_1 D_1 $ 中，点 $ P $ 为平面 $ ABCD $ 内一动点，则 $ |\overrightarrow{AC_1} - \overrightarrow{AP}| $ 的最小值为（ ）.

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

答案： 2.A
【解析】当点P与点C重合时,|$\overrightarrow{AC_1}-\overrightarrow{AP}$|最小,此时,|$\overrightarrow{AC_1}-\overrightarrow{AP}$|=|$\overrightarrow{CC_1}$|=1.

3. 在三棱锥 $ A - BCD $ 中，若 $ \angle BAC = \angle BAD = \frac{\pi}{3} $，$ AB = AC = 2 $，$ AD = 1 $，则 $ \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{CD} = $______.

答案： 3.-1
【解析$】\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}·(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=2×1×cos\frac{π}{3}-2×2×cos\frac{π}{3}=-1.$