《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

4.如图，在四棱锥P−ABCD中,
PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，
PD=AD，∠BAD=60°，点E在线段
PC上，且满足PC=3PE.在线段AD上
是否存在一点F，使得DE//平面PBF?
若存在，指出点F在线段AD上的位置并
给出证明;若不存在，说明理由.

答案： 4.取AB中点G，以$\overrightarrow{DG}$，$\overrightarrow{DC}$和$\overrightarrow{DP}$分别为$x$轴、$y$轴和$z$轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)。设$AD = 2$，$\overrightarrow{DF}=\lambda\overrightarrow{DA}$，则$\overrightarrow{BF}=(\sqrt{3}\lambda - \sqrt{3},-\lambda - 1,0)$，$\overrightarrow{BP}=(-\sqrt{3},-1,2)$
从而可得平面PBF的一个法向量为$\vec{n}=(\lambda + 1,\sqrt{3}\lambda - \sqrt{3},\sqrt{3}\lambda)$。因为$\overrightarrow{DE}=(0,\frac{2}{3},\frac{4}{3})$，由$\vec{n}·\overrightarrow{DE}=0$，得$\lambda=\frac{1}{3}$。所以点F存在，F为线段AD靠近点D的三等分点，且$DA = 3DF$。

1.(多选)若直线l的方向向量为
a，平面α的法向量为n，则能使l//α的
是( ).

A.a=(1,0,0),n=(−2,0,0)
B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.a=(0,2,1),n=(−1,0,0)
D.a=(1,−1,3),n=(0,3,1)

答案： 1.CD
[解析]若$l//\alpha$，则$\vec{a}· \vec{n}=0$。A选项中$\vec{a}· \vec{n}=-2$，B选项中$\vec{a}· \vec{n}=1 + 5 = 6$，C选项中$\vec{a}· \vec{n}=0$，D选项中$\vec{a}· \vec{n}=-3 + 3 = 0$。

2.如图，四棱锥P−ABCD的底面是
直角梯形，AB//CD，BA⊥AD，CD=
2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中
点，则BE与平面PAD的位置关
系为________.

答案： 2.平行
[解析]以点A为原点，$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AP}$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴，建立空间直角坐标系(图略)。设$AB = a$，$AP = c$，$AD = b$，则$A(0,0,0)$，$P(0,0,c)$，$B(a,0,0)$，$C(2a,b,0)$，故$E(a,\frac{b}{2},\frac{c}{2})$
则$\overrightarrow{BE}=(0,\frac{b}{2},\frac{c}{2})$
又$\overrightarrow{AB}=(a,0,0)$为平面PAD的一个法向量，且$\overrightarrow{BE}·\overrightarrow{AB}=0$
$BE\not\subset$平面PAD，故$BE//$平面PAD。