《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

4. 已知$\triangle ABC$的两个顶点为$A(-1,2)$，$B(4,3)$，$AC$边的中点$M$在$y$轴上，$BC$边的中点$N$在$x$轴上.
（1）求顶点$C$的坐标；
（2）求直线$MN$的方程.

答案： 4.
(1)设顶点 C 的坐标为 (x,y)，由 AC 边的中点 M 在 y 轴上，得 x - 1 = 0，x = 1.
由 BC 边的中点 N 在 x 轴上，得 y + 3 = 0，y = -3，所以顶点 C 的坐标为 (1,-3).
(2)由顶点 C 的坐标为 (1,-3)，可得点 M 的坐标为 (0,- $\frac{1}{2}$)，点 N 的坐标为 ($\frac{5}{2}$,0)，所以直线 MN 的方程为 $\frac{x}{\frac{5}{2}}$ + $\frac{y}{-\frac{1}{2}}$ = 1，即 2x - 10y - 5 = 0.

1. 过点$P(2,3)$，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线$l$的方程为（ ）.

A.$x - y + 1 = 0$
B.$x - y + 1 = 0$或$3x - 2y = 0$
C.$x + y - 5 = 0$
D.$x + y - 5 = 0$或$3x - 2y = 0$

答案： 1. B
【解析】当直线 l 过原点时，直线方程为 y = $\frac{3}{2}$x；当直线 l 不过原点时，设直线方程为 $\frac{x}{a}$ - $\frac{y}{a}$ = 1，将点 P(2,3)代入方程，得 a = -1.所以直线 l 的方程为 3x - 2y = 0 或 x - y + 1 = 0.
易错点分析
解答本题容易忽视直线 l 过原点时的情况.

2. 过点$P(1,3)$，且与$x$轴、$y$轴正半轴围成的三角形的面积为$6$的直线的方程是（ ）.

A.$3x + y - 6 = 0$
B.$x + 3y - 10 = 0$
C.$3x - y = 0$
D.$x - 3y + 8 = 0$

答案： 2. A
【解析】设所求的直线方程为 $\frac{x}{a}$ + $\frac{y}{b}$ = 1，所以
\begin{cases} \frac{1}{2}ab = 6, \\ \frac{1}{a} + \frac{3}{b} = 1, \end{cases}
所以 \begin{cases} a = 2, \\ b = 6. \end{cases}
故所求的直线方程为 3x + y - 6 = 0.