《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

1. 已知在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中，$A(2,-1,3)$，$B(3,0,-2)$，则（ ）.

A.$\overrightarrow{AB}=(1,1,-5)$
B.$\overrightarrow{AB}=(-1,-1,5)$
C.$\overrightarrow{AB}=(1,1,5)$
D.$\overrightarrow{AB}=(5,-1,1)$

答案： 1. A
【解析】因为$A(2,-1,3),B(3,0,-2)$，所以$\overrightarrow{AB}=(3 - 2,0 + 1,-2 - 3)=(1,1,-5)$.

2. 已知 $a + b=(3,4,-1)$，$a - b=(5,2,3)$，则 $a· b=$（ ）.

A.$1$
B.$20$
C.$-3$
D.$-12$

答案： 2. C
【解析】由题意，得$\boldsymbol{a}=(4,3,1),\boldsymbol{b}=(-1,1,-2)$.
所以$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=4×(-1)+3×1 + 1×(-2)=-3$.

3. 已知 $A(4,1,3)$，$B(7,-5,-3)$，若点 $C$ 满足 $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AC}$，则点 $C$ 的坐标为______.

答案： 3.$(5,-1,1)$
【解析】设点$C$的坐标为$(x,y,z)$.因为$\overrightarrow{AB}=(3,-6,-6),\overrightarrow{AC}=(x - 4,y - 1,z - 3)$，且$\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AC}$，所以$\begin{cases}3x - 12 = 3,\\3y - 3 = -6,\\3z - 9 = -6.\end{cases}$所以$\begin{cases}x = 5,\\y = -1,\\z = 1.\end{cases}$即$C(5,-1,1)$.

4. 已知 $a=(1,3,-1)$，$b=(-2,0,1)$，且 $ka + b$ 与 $a + b$ 互相垂直，则 $k=$______.

答案： 4.$-\frac{1}{4}$
【解析】由题意，$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(-1,3,0),k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(k - 2,3k,1 - k)$.又$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$垂直，所以$(k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})·(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=2 - k + 9k = 0$.解得$k = -\frac{1}{4}$.
方法总结
利用平行与垂直求参数问题的解题策略：
$(1)$适当引入参数，建立关于参数的方程；
$(2)$最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.

5. 如图，在棱长为 $4$ 的正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$E,F$ 分别为 $D_1D$，$BD$ 的中点，点 $G$ 在 $CD$ 上，且 $CG=\frac{1}{4}CD$，$H$ 为 $C_1G$ 的中点.
（1）求直线 $EF$ 与 $C_1G$ 所成的角的余弦值；
（2）求线段 $FH$ 的长度.

答案：
5.$(1)$如图，以$D$为原点，$\{\frac{1}{4}\overrightarrow{DA},\frac{1}{4}\overrightarrow{DC},\frac{1}{4}\overrightarrow{DD_1}\}$为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则$E(0,0,2),F(2,2,0),C_1(0,4,4),G(0,3,0)$，所以$\overrightarrow{EF}=(2,2,-2),\overrightarrow{C_1G}=(0,-1,-4),\cos\langle\overrightarrow{EF},\overrightarrow{C_1G}\rangle=\frac{\overrightarrow{EF}·\overrightarrow{C_1G}}{|\overrightarrow{EF}||\overrightarrow{C_1G}|}=\frac{\sqrt{51}}{17}$，即直线$EF$与$C_1G$所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{51}}{17}$.
$(2)$由已知可得$F(2,2,0),H(0,\frac{7}{2},2)$，所以$|\overrightarrow{FH}|=\frac{\sqrt{41}}{2}$.

1. 在空间直角坐标系中，若点 $A$ 的坐标是 $(1,-2,11)$，点 $B$ 的坐标是 $(4,2,3)$，点 $C$ 的坐标是 $(6,-1,4)$，则 $\triangle ABC$ 一定是（ ）.

A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形

答案： 1. C
【解析】因为$\overrightarrow{AB}=(3,4,-8),\overrightarrow{AC}=(5,1,-7),\overrightarrow{BC}=(2,-3,1)$，所以$|\overrightarrow{AB}|^2=3^2 + 4^2+(-8)^2 = 89,|\overrightarrow{AC}|^2=5^2 + 1^2+(-7)^2 = 75,|\overrightarrow{BC}|^2=2^2+(-3)^2 + 1^2 = 14$，所以$|\overrightarrow{AC}|^2+|\overrightarrow{BC}|^2=|\overrightarrow{AB}|^2$，所以$\triangle ABC$一定是直角三角形.

2. 已知 $a=(3,-4,12)$，则与 $a$ 共线的单位向量坐标为________________.

答案： 2.$(\frac{3}{13},-\frac{4}{13},\frac{12}{13})$或$(-\frac{3}{13},\frac{4}{13},-\frac{12}{13})$

3. 已知 $a=(1,\lambda,\lambda^2)$，$b=(2,12 - 4\lambda,8)$，若 $a$ 与 $b$ 的夹角为锐角，则实数 $\lambda$ 的取值范围是________________.

答案： 3.$(-\infty,\frac{-3-\sqrt{7}}{2})\cup(\frac{-3+\sqrt{7}}{2},2)\cup(2,+\infty)$
【解析】因为$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为锐角，所以$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle＞0$，
所以$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}＞0$，即$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=2 + 12\lambda-4\lambda^2 + 8\lambda^2=4\lambda^2 + 12\lambda+2＞0$，解得$\lambda＞\frac{-3+\sqrt{7}}{2}$或$\lambda＜\frac{-3-\sqrt{7}}{2}$.又$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$不平行，所以$\frac{1}{2}=\frac{\lambda}{12 - 4\lambda}=\frac{\lambda^2}{8}$不成立，故$\lambda\neq2$，所以实数$\lambda$的取值范围是$(-\infty,\frac{-3-\sqrt{7}}{2})\cup(\frac{-3+\sqrt{7}}{2},2)\cup(2,+\infty)$.