《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

1.已知点A(0，1，3)，B(−1，2,
1),C(2,2,6),P(m,1,n).若PB⊥
平面ABC，则点P的坐标为( ).

A.(4,1,−2)
B.(4,1,2)
C.(−4,1,2)
D.(2,1,−4)

答案： 1.A
[解析]由题意，得$\overrightarrow{AB}=(-1,1,-2)$，$\overrightarrow{AC}=(2,1,3)$，$\overrightarrow{PB}=(-1 - m,1,1 - n)$
因为PB⊥平面ABC，所以$\begin{cases} \overrightarrow{PB}· \overrightarrow{AB}=(1 + m)+1+(2n - 2)=0 \\ \overrightarrow{PB}· \overrightarrow{AC}=(-2 - 2m)+1+(3 - 3n)=0 \end{cases}$
解得$m = 4$，$n = -2$，所以点$P(4,1,-2)$。

2.已知a=(1，−1，0)，b=(1，1,
−1)，c=(0，−1，1)分别是平面α,β,
γ的法向量，则α,β,γ三个平面中相互
垂直的平面有______对.

答案： 2.1
[解析]$\vec{a}· \vec{b}=1×1 + (-1)+0×(-1)=0$，所以$\vec{a}\perp\vec{b}$。
$\vec{a}· \vec{c}=1×0 + (-1)×(-1)+0×1=1\neq0$，所以$\vec{a}$与$\vec{c}$不垂直。
$\vec{b}· \vec{c}=1×0 + 1×(-1)+(-1)×1=-2\neq0$，所以$\vec{b}$与$\vec{c}$不垂直。
故$\alpha$，$\beta$，$\gamma$三个平面中相互垂直的平面有1对。

3.在棱长为α的正方体ABCD−
A1B1C1D1中，E，F分别为线段AB，BC
上的动点，且AE=BF.求证:A1F⊥C1E.

答案： 3.以D为原点，$DA$，$DC$，$DD_1$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴，建立空间直角坐标系(图略)。设$AE = BF = b$，所以点$A_1$，$C_1$，$E$，$F$的坐标分别为$(a,0,a)$，$(0,a,a)$，$(a,b,0)$，$(a - b,a,0)$。因为$\overrightarrow{A_1F}·\overrightarrow{C_1E}=-ab + ab - a^2 + a^2=0$
所以$A_1F\perp C_1E$。

4. 如图，平行六面体ABCD−
AlBlClD的底面ABCD是菱形，∠AlAB=
∠AlAD=∠BAD=60°,AB=2,E为
B1D1中点.当AA1的长度为何值时，
AE⊥平面A1BD?

答案： 4.因为$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DB_1}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{A_1B}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AA_1}$，且$\overrightarrow{AE}\perp$平面$A_1BD$，所以$\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{A_1B}=3 - \overrightarrow{AA_1}^2=0$，即$\overrightarrow{AA_1}=\sqrt{3}$。因为$\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{BD}=0$，所以当$|\overrightarrow{AA_1}|=\sqrt{3}$时，$AE\perp$平面$A_1BD$。