《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

如图，在三棱柱 ABC - A₁B₁C₁ 中，∠BAC = 60°，∠A₁AB = ∠A₁AC = 45°，AB = AC = 2，AA₁ = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$，E 是棱 B₁C₁ 的中点.
（1）求 BE 与 AC 所成的角的余弦值；
（2）求证：A₁E ⊥ 平面 A₁BC.

答案：
(1)设$\overrightarrow{BE}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为$\alpha$，则直线$BE$与$AC$夹角的余弦值为$| \cos \alpha|$.以$\{ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AA_1}\}$为基底，则$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AE} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，所以$| \overrightarrow{BE}|^2 = \frac{11}{2}$，$\overrightarrow{BE} · \overrightarrow{AC} = 4$.因为$| \cos \alpha| = \frac{\overrightarrow{BE} · \overrightarrow{AC}}{| \overrightarrow{BE}| | \overrightarrow{AC}|} = \frac{2\sqrt{22}}{11}$，所以直线$BE$与$AC$夹角的余弦值为$\frac{2\sqrt{22}}{11}$.
(2)以$\{ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AA_1}\}$为基底，则$\overrightarrow{A_1E} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{A_1C} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AA_1}$，所以$\overrightarrow{A_1E} · \overrightarrow{BC} = 0$，$\overrightarrow{A_1E} · \overrightarrow{A_1C} = 0$，即$A_1E \perp BC$，$A_1E \perp A_1C$.故$A_1E \perp$平面$A_1BC$.