《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

2. 已知 $ A(1, -1) $，$ B(2, 2) $，$ C(3, 0) $ 三点，若点 $ D $ 使直线 $ BC // AD $，直线 $ AB \perp CD $，则点 $ D $ 的坐标是________.

答案： 2. D(0,1)
【解析】由题意，知$\begin{cases}k_{BC}=k_{AD}\\k_{AB}· k_{CD}=-1\end{cases}$，即$\begin{cases}-\frac{2}{1}=\frac{y + 1}{x - 1}\frac{3}{1}·\frac{y}{x - 3}=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 0\\y = 1\end{cases}$.所以D(0,1).

3. 已知直线 $ l_1 $ 经过点 $ A(3, 0) $，$ B(1, m) $，直线 $ l_2 $ 的一个方向向量为 $ \boldsymbol{a} = (4, -3) $，且 $ l_1 \perp l_2 $，则 $ m = $________.

答案： 3. -$\frac{8}{3}$
【解析】由题意，得$k_{l_1}=-\frac{m}{2}$，$k_{l_2}=-\frac{3}{4}$，因为$l_1\perp l_2$，所以$(-\frac{m}{2})·(-\frac{3}{4})=-1$，解得m = -$\frac{8}{3}$.

4. “$ \theta = \frac{\pi}{4} $” 是 “两条直线 $ y = x \tan \theta + 1 $，$ y = x + 2 $ 平行” 的（ ）.

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分，也不必要条件

答案： 4. A
【解析】当θ = $\frac{\pi}{4}$时，直线y = x + 1与y ＞ x + 2平行，此时，tanθ = 1，θ = kπ + $\frac{\pi}{4}$.故选A.

1. 已知直线 $ l_1 $ 过 $ M(1, 1) $，$ N(-1, 3) $ 两点，且过点 $ A(\frac{1}{2}, a) $ 能作一条直线 $ l_2 $ 与直线 $ l_1 $ 平行，则 $ a $ 的取值范围为________.

答案： 1. {a|a≠$\frac{3}{2}$}
【解析】根据题意可知，过点A($\frac{1}{2}$,a)能作一条直线l2与直线l1平行，则点A不在直线l1上，故$\frac{a - 1}{\frac{1}{2}-1}\neq -1$，故a≠$\frac{3}{2}$.

2. 已知点 $ A(0, 1) $，$ B(1, 0) $，$ C(3, 2) $，$ D(2, 3) $，试判断四边形 $ ABCD $ 的形状.

答案： 2. 由题意，得kAB = $\frac{0 - 1}{1 - 0}=-1$，kCD = $\frac{3 - 2}{2 - 3}=-1$，kBC = $\frac{2 - 0}{3 - 1}=1$，kDA = $\frac{3 - 1}{2 - 0}=1$.所以kAB = kCD，kBC = kDA.所以AB//CD，BC//DA.所以四边形ABCD为平行四边形.又因为kAB·kBC = -1，所以AB⊥BC.即∠ABC = 90°，所以平行四边形ABCD为矩形.故四边形ABCD为矩形.