《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

3. （2022·新高考全国Ⅰ卷）如图，直三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$的体积为$4$，$\triangle A_{1}BC$的面积为$2\sqrt{2}$.
（1）求点$A$到平面$A_{1}BC$的距离；
（2）设$D$为$A_{1}C$的中点，$AA_{1}=AB$，平面$A_{1}BC\perp$平面$ABB_{1}A_{1}$，求二面角$A - BD - C$的正弦值.
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答案：
3.
(1)因为直三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$的体积为$4$，所以$V_{A_{1}-ABC} = \frac{1}{3}V_{ABC - A_{1}B_{1}C_{1}} = \frac{4}{3}$.
设点$A$到平面$A_{1}BC$的距离为$h$.
则$V_{A - A_{1}BC} = \frac{1}{3}S_{\triangle A_{1}BC} · h = \frac{2\sqrt{2}}{3}h = V_{A_{1}-ABC} = \frac{4}{3}$，解得$h = \sqrt{2}$.
所以点$A$到平面$A_{1}BC$的距离为$\sqrt{2}$.
(2)连接$AB_{1}$交$A_{1}B$于点$E$，如图，

因为$AA_{1} = AB$，所以$AB_{1} \perp A_{1}B$.又平面$A_{1}BC \perp$平面$ABB_{1}A_{1}$，平面$A_{1}BC \cap$平面$ABB_{1}A_{1} = A_{1}B$，且$AB_{1} \subset$平面$ABB_{1}A_{1}$，所以$AB_{1} \perp$平面$A_{1}BC$.由$BC \subset$平面$A_{1}BC$，
可得$AB_{1} \perp BC$.
在直三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，$BB_{1} \perp$平面$ABC$，由$BC \subset$平面$ABC$可得$BB_{1} \perp BC$，又$AE,BB_{1} \subset$平面$ABB_{1}A_{1}$且相交，所以$BC \perp$平面$ABB_{1}A_{1}$，所以$BC,BA$，
$BB_{1}$两两垂直.
以$B$为原点，建立空间直角坐标系，如图，由
(1)得$AE = \sqrt{2}$，所以$AA_{1} = AB = 2$，$A_{1}B = 2\sqrt{2}$，所以$BC = 2$，则$A(0,2,0)$，$A_{1}(0,2,2)$，$B(0,0,0)$，$C(2,0,0)$，所以$A_{1}C$的
中点$D(1,1,1)$，则$\overrightarrow{BD} = (1,1,1)$，$\overrightarrow{BA} = (0,2,0)$，$\overrightarrow{BC} = (2,0,0)$.
设平面$ABD$的法向量为$\mathbf{m} = (x,y,z)$，
则$\begin{cases} \mathbf{m} · \overrightarrow{BD} = x + y + z = 0, \\ \mathbf{m} · \overrightarrow{BA} = 2y = 0, \end{cases}$
可取$\mathbf{m} = (1,0, - 1)$为平面$ABD$的一个法向量.
设平面$BDC$的法向量为$\mathbf{n} = (a,b,c)$，
则$\begin{cases} \mathbf{n} · \overrightarrow{BD} = a + b + c = 0, \\ \mathbf{n} · \overrightarrow{BC} = 2a = 0, \end{cases}$
可取$\mathbf{n} = (0,1, - 1)$为平面$BDC$的一个法向量，
则$\cos\langle\mathbf{m},\mathbf{n}\rangle = \frac{\mathbf{m} · \mathbf{n}}{|\mathbf{m}| · |\mathbf{n}|} = \frac{1}{\sqrt{2} × \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$，
所以二面角$A - BD - C$的正弦值为$\sqrt{1 - (\frac{1}{2})^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.