《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

1. 在 $ x $ 轴上与点 $ M(1, 4) $ 的距离等于 $ 5 $ 的点的坐标为________________.

答案： 1.(4,0)或(-2,0)
【解析】设所求点的坐标为$(x,0)$，由题意，得
$\sqrt{(x - 1)^2+(0 - 4)^2}=5$，解得$x = -2$或4，所以所求点的
坐标为(4,0)或(-2,0)。

2. 已知在 $ \triangle ABC $ 中，$ A(1, 3) $，$ B(0, 2) $，$ C(8, -4) $，则 $ BC $ 边上的中线长为______.

答案： 2.5
【解析】由题意，$BC$的中点为$D(4,-1)$，所以$BC$边
上的中线为$AD$，其长度为$\sqrt{(4 - 1)^2+(-1 - 3)^2}=5$。

3. 以 $ A(1, 3) $，$ B(3, 1) $，$ C(-5, -5) $ 为顶点的三角形是（ ）.

A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.无法确定

答案： 3.B
【解析】因为$|AB| = \sqrt{(3 - 1)^2+(1 - 3)^2}=2\sqrt{2}$，
$|AC| = \sqrt{(-5 - 1)^2+(-5 - 3)^2}=10$，
$|BC| = \sqrt{(-5 - 3)^2+(-5 - 1)^2}=10$，
且三条直线没有垂直关系，
所以$\triangle ABC$为等腰三角形.
方法总结
判断三角形的形状的解题策略如下.
(1)先采用数形结合的方法，大致明确三角形的形
状，以确定证明的方向；
(2)根据两点间的距离公式分别求出三边的长，确
定是等腰三角形，等边三角形，还是直角三角形.

4. $ x $ 轴上任一点到定点 $ (0, 3) $，$ (1, 2) $ 的距离之和的最小值是______.

答案： 4.$\sqrt{26}$
【解析】由题意知，所求距离之和的最小值为点(0,
-3)与点(1,2)的距离，即$\sqrt{(1 - 2)^2+(2 + 3)^2}=\sqrt{26}$。

1. （多选）已知点 $ M(-1, 3) $，$ N(5, 1) $，点 $ P(x, y) $ 到点 $ M $，$ N $ 的距离相等，则下列说法正确的是（ ）.

A.$ |MN| = 2\sqrt{10} $
B.直线 $ MN $ 的方程是 $ x + 3y - 7 = 0 $
C.直线 $ MN $ 的方程是 $ x - 3y + 9 = 0 $
D.$ x $，$ y $ 满足条件 $ 3x - y - 4 = 0 $

答案： 1.AD
【解析】因为$M(-1,3),N(5,1)$，
所以$|MN| = \sqrt{(5 + 1)^2+(1 - 3)^2}=2\sqrt{10}$，所以A
选项正确；
直线$MN$的方程为$\frac{y - 3}{1 - 3}=\frac{x + 1}{5 + 1}$，即$x + 3y - 8 = 0$，所
以B选项和C选项错误；
由点$P(x,y)$到点$M,N$的距离相等可知
$\sqrt{(x + 1)^2+(y - 3)^2}=\sqrt{(x - 5)^2+(y - 1)^2}$，
即$3x - y - 4 = 0$，所以D选项正确.

2. 已知平面上两点 $ A(x, \sqrt{2} - x) $，$ B(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0) $，则 $ |AB| $ 的最小值为（ ）.

A.$ 3 $
B.$ \frac{1}{3} $
C.$ 2 $
D.$ \frac{1}{2} $

答案： 2.D
【解析】因为$|AB| = \sqrt{(x - \frac{\sqrt{2}}{2})^2+(\sqrt{2} - x - 0)^2}=\sqrt{2(x - \frac{3\sqrt{2}}{4})^2+\frac{1}{4}\geq\frac{1}{2}$，
当且仅当$x = \frac{3\sqrt{2}}{4}$时，等号成立，所以$|AB|_{min}=\frac{1}{2}$。