《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

1. 圆 $ (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 1 $ 与圆 $ (x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 9 $ 的位置关系为______.

答案： 1. 外离
[解析]两圆圆心之间的距离$d=\sqrt{(2 + 2)^{2}+(5 - 2)^{2}}=5＞r_{1}+r_{2}=1 + 3 = 4$，所以两圆外离。

2. 与圆 $ x^2 + y^2 = 5 $ 外切于点 $ P(- 1, 2) $，且半径为 $ 2\sqrt{5} $ 的圆的方程为______.

答案： 2. $(x + 3)^{2}+(y - 6)^{2}=20$
[解析]设所求圆的圆心为$C(a,b)$，因为切点$P(-1,2)$与两圆的圆心$O$，$C$三点共线，
所以$\frac{b - 0}{a - 0}=\frac{b - 2}{a + 1}$。又$\vert PC\vert=2\sqrt{5}$，所以由$\begin{cases}(a + 1)^{2}+(b - 2)^{2}=(2\sqrt{5})^{2}\frac{b}{a}=\frac{b - 2}{a + 1}\end{cases}$得$\begin{cases}a=-3\\b=6\end{cases}$。所以所求圆的方程为$(x + 3)^{2}+(y - 6)^{2}=20$。

3. 设 $ M $，$ N $ 分别是圆 $ C_1 $：$ x^2 + y^2 + 2x - 4y + 3 = 0 $，圆 $ C_2 $：$ x^2 + y^2 - 4x + 2y + 3 = 0 $ 上的点，则线段 $ MN $ 的最小值为______.

答案： 3. $\sqrt{2}$
[解析]由$x^{2}+y^{2}+2x - 4y + 3 = 0$得$(x + 1)^{2}+(y - 2)^{2}=2$，则圆心为$(-1,2)$，半径为$\sqrt{2}$，由$x^{2}+y^{2}-4x + 2y + 3 = 0$得$(x - 2)^{2}+(y + 1)^{2}=2$，则圆心为$(2,-1)$，半径为$\sqrt{2}$，两圆圆心距为$\sqrt{(-1 - 2)^{2}+(2 + 1)^{2}}=3\sqrt{2}＞2\sqrt{2}$，故两圆外离，则两圆上的点之间的最短距离是$3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。

4. 两圆 $ x^2 + y^2 - 6x + 16y - 48 = 0 $ 与 $ x^2 + y^2 + 4x - 8y - 44 = 0 $ 的公切线的条数为（ ）.

A.$ 4 $
B.$ 3 $
C.$ 2 $
D.$ 1 $

答案： 4. C
[解析]因为圆$C_{1}:x^{2}+y^{2}-6x + 16y - 48 = 0$化成标准方程，得$(x - 3)^{2}+(y + 8)^{2}=121$，所以圆$C_{1}$的圆心坐标为$(3,-8)$，半径$r_{1}=11$。同理，可得圆$C_{2}$的圆心坐标为$(-2,4)$，半径$r_{2}=8$。因此，两圆的圆心距为$\vert C_{1}C_{2}\vert=\sqrt{(3 + 2)^{2}+(-8 - 4)^{2}}=13$。因为$\vert r_{1}-r_{2}\vert＜\vert C_{1}C_{2}\vert＜r_{1}+r_{2}=16$，
所以两圆的位置关系是相交，可得两圆有$2$条公切线。
方法总结
求两圆公切线的问题可转化为求两圆位置关系的问题。

5. 已知两圆 $ C_1 $：$ x^2 + y^2 + 4x - 4y - 5 = 0 $，$ C_2 $：$ x^2 + y^2 - 8x + 4y + 7 = 0 $. 求证：圆 $ C_1 $ 与圆 $ C_2 $ 相切，并求出切点的坐标.

答案： 5. 圆$C_{1}$的方程为$(x + 2)^{2}+(y - 2)^{2}=13$，圆$C_{2}$的方程为$(x - 4)^{2}+(y + 2)^{2}=13$。
由于圆心距为$\vert C_{1}C_{2}\vert=2\sqrt{13}$，恰好等于半径之和，故这两个圆外切。
把两圆的方程相减，可得两圆的公共切线方程为$3x - 2y - 3 = 0$。
根据两圆的圆心坐标求得直线$C_{1}C_{2}$的方程为$\frac{y + 2}{2 + 2}=\frac{x - 4}{-2 - 4}$，即$2x + 3y - 2 = 0$。由$\begin{cases}3x - 2y - 3 = 0\\2x + 3y - 2 = 0\end{cases}$求得切点的坐标为$A(1,0)$。