《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

1.如图，在正方体ABCD−ABlClD1
中，以D为原点建立空间直角坐标系，E
为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下
列向量中，能作为平面AEF的法向量的
是( ).

A.(1,−2,4)
B.(−4,1，−2)
C.(2,−2,1)
D.(1,2,−2)

答案： 1.B
[解析]设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(1,0,2).
所以$\overrightarrow{AE}=(0,2,1),\overrightarrow{EF}=(-1,2,1)$
设向量$\vec{n}=(x,y,z)$是平面AEF的法向量，则$\begin{cases} \vec{n}· \overrightarrow{AE}=2y+z=0 \\ \vec{n}· \overrightarrow{EF}=-x-2y+z=0 \end{cases}$
取$y = 1$，得$z = -2$，$x = -4$。所以$\vec{n}=(-4,1,-2)$是平面AEF的一个法向量，只有B选项符合。

2.若点A(1，−3，2)，B(−1，1,
−4)在直线l上，则下列向量中是直线[
的方向向量的为( ).

A.(2,4,6)
B.(−2,4,6)
C.(1,2,3)
D.(1,−2,3)

答案： 2.D

3.已知点A(2，−1，2)在平面α内,
平面α的一个法向量为n=(4，1，2)，则
下列点在平面α内的为( ).

A.(−2,1,−2)
B.(1,2,3)
C.(3,1,−1)
D.(2,−1,3)

答案： 3.C

1.在平面ABCD中，A(0，1，1),
B(1,2,1),C(−1,0,3),若a=
(−1,y,z)且a为平面ABCD的法向
量，则y+N=( ).

A.2
B.0
C.1
D.无法确定

答案： 1.C
[解析]由题意得$\overrightarrow{AB}=(1,1,0),\overrightarrow{AC}=(-1,-1,2)$，又$\vec{a}$为平面ABCD的法向量，
所以$\begin{cases} \vec{a}· \overrightarrow{AB}=0 \\ \vec{a}· \overrightarrow{AC}=0 \end{cases}$，即$\begin{cases} -1+y=0 \\ 1-y+2z=0 \end{cases}$，解得$y = 1$，$z = 0$
所以$y + z = 1$。

2.已知点M(3，1，2)，N(1，−5,
−4)，A(4，1，3)，C为线段AB上一
点，且$\frac{AC}{N}$=$\frac{1}{3}$”MN是直线AB的方向
向量，则点C的坐标为( ).

A.$\frac{7}{2}$,$\frac{1}{2}$”$\frac{5}{2}$)
B.$\frac{3}{8}$，−3,2)
C.$\frac{10}{3}$,−1,1)
D.$\frac{5}{2}$−$\frac{7}{2}$,$\frac{3}{2}$

答案： 2.C
[解析]因为点C在线段AB上，所以$\overrightarrow{AC}// \overrightarrow{AB}$，又$\overrightarrow{MN}$是直线AB的方向向量，所以$\overrightarrow{MN}// \overrightarrow{AB}$，所以$\overrightarrow{MN}// \overrightarrow{AC}$。设$C(x,y,z)$，因为$\overrightarrow{MN}=(-2,-6,-6),\overrightarrow{AC}=(x - 4,y - 1,z - 3)$，且$\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{MN}}=\frac{1}{3}$，所以$(x - 4,y - 1,z - 3)=\frac{1}{3}(-2,-6,-6)$
即$\begin{cases} 3(x - 4)=-2 \\ 3(y - 1)=-6 \\ 3(z - 3)=-6 \end{cases}$，解得$x=\frac{10}{3}$，$y = -1$，$z = 1$，所以点C的坐标为$(\frac{10}{3},-1,1)$。