《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

例 如图$\boldsymbol{3.1 - 1}$，$F_1$，$F_2$分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a＞b＞0)$的左、右焦点，点$A$，$B$为椭圆的顶点. 若$BF_1\perp BA$，求椭圆的离心率.

答案： 分析：已知$a^2 = b^2 + c^2$，求离心率时需要探求$b$与$a$，$c$的关系，进而得到一个关于$a$，$c$的关系式，对这个关系式进行变形，将它转化为关于$\frac{c}{a}(e)$的方程. 本例中，由几何条件$BF_1\perp BA$，可以建立$b$与$a$，$c$之间的关系.
解：由题意，得$A(a,0)$，$B(0,b)$，$F_1(-c,0)$，所以直线$BA$的斜率为$-\frac{b}{a}$，直线$BF_1$的斜率为$\frac{b}{c}$.
因为$BF_1\perp BA$，所以$(-\frac{b}{a})·\frac{b}{c} = -1$，即$b^2 = ac$.
由$b^2 = a^2 - c^2$，得$a^2 - c^2 = ac$.
两边同除以$a^2$，可得$(\frac{c}{a})^2 + \frac{c}{a} - 1 = 0$，即
$e^2 + e - 1 = 0$
解得$e = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$.
由$e\in(0,1)$，得$e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.
所以椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.
评析：解题中运用了方程思想，将几何条件代数化是解题的关键. 本例中，也可以利用平面向量数量积、勾股定理等知识将几何条件$BF_1\perp BA$转化为代数形式.