《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

1. 在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中，关于点 $P(x,y,z)$，下列说法正确的是（ ）.

A.若 $y = 0$ 且 $z = 0$，则点 $P$ 一定在 $Oyz$ 平面内
B.若 $y = 0$ 或 $z = 0$，则点 $P$ 一定在 $x$ 轴上
C.若 $x = 0$，则点 $P$ 一定在 $x$ 轴上
D.若 $x = 0$，则点 $P$ 一定在 $Oyz$ 平面内

答案： 1. D
【解析】当$y = 0$且$z = 0$时，点$P$在$x$轴上，A选项错误；当$y = 0$或$z = 0$时，点$P$在平面$Oxz$或平面$Oxy$内，B选项错误；当$x = 0$时，点$P$在平面$Oyz$内，C选项错误，D选项正确.
方法总结
求对称点的坐标的规律：关于什么对称什么就不变，其余的符号均相反.

2. 在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中，点 $M(a,b,c)$ 与点 $N(-a,-b,-c)$ 关于（ ）.

A.$x$ 轴对称
B.$y$ 轴对称
C.$z$ 轴对称
D.原点对称

答案： 2. D
【解析】点$(a,b,c)$与点$(-a,-b,-c)$关于原点对称.

3. 点 $A(1,3,2)$ 在 $x$ 轴上的射影坐标为______，在 $Oyz$ 平面的射影坐标为______.

答案： 3.$(1,0,0);(0,3,2)$

4. 已知长方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB = 6$，$BC = 12$，$AA_1 = 8$，$AC_1$ 与 $A_1C$ 交于 $O$ 点，以 $O$ 为原点，$\left\{\frac{1}{6}\overrightarrow{AB},\frac{1}{12}\overrightarrow{BC},\frac{1}{8}\overrightarrow{A_1A}\right\}$ 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 $Oxyz$.
（1）分别写出点 $C,A_1,B,D_1$ 的坐标；
（2）若平面 $ABCD$ 内一点 $P$ 在平面 $A_1B_1C_1D_1$ 的射影 $G$ 为 $\triangle A_1C_1D_1$ 的重心，求向量 $\overrightarrow{OP}$ 的坐标.

答案： 4.$(1)C(3,6,4),A_1(-3,-6,-4),B(3,-6,4),D_1(-3,6,-4)$.
$(2)$因为$C_1(3,6,-4)$，所以$\triangle A_1C_1D_1$的重心坐标为$(-1,2,-4)$，所以点$P$的坐标为$(-1,2,4)$，故$\overrightarrow{OP}$的坐标为$(-1,2,4)$.

在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中，点 $M(a,b,c)$ 关于原点成中心对称的点为 $M_1$，关于 $x$ 轴对称的点为 $M_2$，下列说法错误的是（ ）.

A.线段 $MM_2$ 的中点在 $x$ 轴上
B.线段 $M_1M_2$ 的中点在 $x$ 轴上
C.线段 $M_1M_2$ 的中点在 $Oyz$ 平面内
D.点 $M_1$ 在 $Oyz$ 平面的投影点与点 $M_2$ 在 $Oyz$ 平面的投影点重合

答案： B