《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

例 如图1.4−5，已知四棱锥P−ABCD
的底面ABCD是边长为2的正方形，
PD⊥平面ABCD，M，N分别是线段
AD，AB的中点.
(1)求直线CM与PN所成的角的大小;
(2)若平面PMB与平面MBC夹角的
余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$，求直线PC与平面PMB所
成的角的正弦值.

答案： 分析:如图1.4−5，建立空间直角坐
标系.
(1)要求直线CM与PN所成的
角，需要先求出CM和PN的坐标，再利
用向量的数量积求解.
(2)要求直线PC
与平面PMB所成的角的正弦值，首先
需求出点P的坐标，再确定平面PMB
的一个法向量，进而利用向量的数量积
求解.
解:如图1.4−5，以D为原点，DA，
DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z
轴，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0),
B(2,2,0),C(0,2,0),M(1,0,0),
N(2,1,0).
(1)设DP=h，则P(0，0,h)，所以
CM=(1,−2,0),PN=(2,1,−h),
所以
cos＜CM,PN＞=.$\frac{2−2}{5×\sqrt{5+h²}}$=0.
所以直线CM与PN所成的角的大小
为90°.
(2)设平面PMB的法向量为n=(x，
y,z)，则n⊥MB,n⊥MP.
因为MB=(1，2,0)，MP=(−1,
0,h)，所以
n.MB=0,
{n.MP=0,
所以
x+2y=0,
{−x+hz=0.
取x=2h，则y=−h，z=2.所以
n=(2h，一h，2)是平面PMB的一个法
向量.
又因为平面CMB的一个法向量为
m=(0，0，1),所以|cos(m，n冫|=
.$\frac{2}{(2h)²+(−h)²+4}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，解得h=2.
所以n=(4，−2，2)是平面PMB的
一个法向量.设直线PC与平面PMB所成
的角为θ，又因为PC=(0，2，−2)，则
sinθ=|cos＜一PC,n＞|=$\frac{|−4−4|}{\sqrt{24}x\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$”
即直线PC与平面PMB所成的角的正弦
值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
评析:建立空间直角坐标系后，确定
有关点的坐标是求解“空间角”的基础，
结合图形正确理解“空间角”与相应向量
夹角的关系，进而利用向量的数量积计算
求解是解决这类问题的一般方法.