《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

2. 如图，在正方体 $ ABCD - A_1 B_1 C_1 D_1 $ 中，$ E $ 为棱 $ CC_1 $ 的中点，点 $ F $ 在线段 $ DB_1 $ 上，且 $ 3 DF = 2 FB_1 $.
（1）用 $ \overrightarrow{DA} $，$ \overrightarrow{DC} $，$ \overrightarrow{DD_1} $ 表示 $ \overrightarrow{D_1 A} $，$ \overrightarrow{D_1 E} $ 及 $ \overrightarrow{D_1 F} $；
（2）求证：$ A $，$ E $，$ D_1 $，$ F $ 四点共面.

答案： $2.(1)\overrightarrow{D_1A}=\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DD_1};$
$\overrightarrow{D_1E}=\overrightarrow{D_1C_1}+\overrightarrow{C_1E}=\overrightarrow{DC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{DD_1}.$
因为3DF=2FB₁,所以$\overrightarrow{D_1F}=\frac{2}{5}\overrightarrow{DB_1},$又因为$\overrightarrow{DB_1}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DD_1},$所以$\overrightarrow{D_1F}=\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{DD_1}=\frac{2}{5}\overrightarrow{DA}+\frac{2}{5}\overrightarrow{DC}-\frac{3}{5}\overrightarrow{DD_1}.$
(2)由
(1)可得$\overrightarrow{D_1A}=\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DD_1},\overrightarrow{D_1E}=\overrightarrow{DC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{DD_1},\overrightarrow{D_1F}=\frac{2}{5}\overrightarrow{DA}+\frac{2}{5}\overrightarrow{DC}-\frac{3}{5}\overrightarrow{DD_1},$所以$\overrightarrow{D_1F}=\frac{2}{5}\overrightarrow{D_1E}+\frac{2}{5}\overrightarrow{D_1A},$所以$\overrightarrow{D_1F},\overrightarrow{D_1E},\overrightarrow{D_1A}$共面,即A,E,D₁,F四点共面.