《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

例 如图 1.1 - 2，已知正四面体 $ ABCD $ 的棱长为 $ 1 $，点 $ G $ 为等边三角形 $ BCD $ 的重心.
（1）用 $ \overrightarrow{AB} $，$ \overrightarrow{AC} $，$ \overrightarrow{AD} $ 表示 $ \overrightarrow{AG} $；
（2）求 $ \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AG} $ 的值；
（3）求 $ |\overrightarrow{AG}| $.

答案： 分析：对于（1），要用 $ \overrightarrow{AB} $，$ \overrightarrow{AC} $，$ \overrightarrow{AD} $ 表示 $ \overrightarrow{AG} $，根据图形，首先考虑用 $ \overrightarrow{AD} $，$ \overrightarrow{DG} $ 来表示 $ \overrightarrow{AG} $；注意到 $ \overrightarrow{DB} $，$ \overrightarrow{DC} $ 可以用 $ \overrightarrow{AB} $，$ \overrightarrow{AC} $，$ \overrightarrow{AD} $ 表示，再考虑 $ \overrightarrow{DG} $ 如何用 $ \overrightarrow{DB} $，$ \overrightarrow{DC} $ 表示即可解决问题. 对于（2）和（3），由于容易求得 $ \overrightarrow{AB} $，$ \overrightarrow{AC} $，$ \overrightarrow{AD} $ 中任意两个向量的数量积，因此利用（1）的结论即可求得结果.
解：（1）如图 1.1 - 2，取 $ BC $ 中点 $ M $. 因为 $ G $ 为等边三角形 $ BCD $ 的重心，所以 $ \overrightarrow{DG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{DM} $.
因为 $ \overrightarrow{DM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}) = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}) $，
所以 $ \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DG} = \overrightarrow{AD} + \frac{1}{3} (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) $.
（2）$ \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} · [\frac{1}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})] = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AD}) $.
因为 $ |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AD}| = 1 $，且 $ \overrightarrow{AB} $ 与 $ \overrightarrow{AC} $，$ \overrightarrow{AD} $ 的夹角都为 $ 60^{\circ} $，所以 $ \overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{2}{3} $.
（3）因为 $ |\overrightarrow{AG}| = \sqrt{\overrightarrow{AG}^2} $，$ \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) $，$ |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AD}| = 1 $，且 $ \overrightarrow{AB} $，$ \overrightarrow{AC} $，$ \overrightarrow{AD} $ 中任意两个向量的夹角都为 $ 60^{\circ} $，所以
$ |\overrightarrow{AG}| = \frac{1}{3} \sqrt{(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})^2} $
$ = \frac{1}{3} \sqrt{1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1} = \frac{\sqrt{6}}{3} $.
评析：计算向量的数量积时，如果向量的模或向量之间的夹角未知，可把相关向量进行适当分解，转化为模以及相互之间的夹角已知的向量的数量积.

1. 已知非零向量 $ \boldsymbol{a} $，$ \boldsymbol{b} $，$ \boldsymbol{c} $，下列等式不恒成立的是（ ）.

A.$ \boldsymbol{a}^2 = |\boldsymbol{a}|^2 $
B.$ (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) · (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) = \boldsymbol{a}^2 - \boldsymbol{b}^2 $
C.$ (\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} (\boldsymbol{b} · \boldsymbol{c}) $
D.$ (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) · \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} · \boldsymbol{c} + \boldsymbol{b} · \boldsymbol{c} $

答案： 1.C
【解析】(a·b)c是一个数与向量c作数乘,a(b·c)是向量a与另一个数作数乘,而这两个数不一定相等,a,c不一定在同一个方向上,所以(a·b)·c与a·(b·c)不可能相等,故选C.
易错点分析
(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等,不要与数量积的分配律混淆.