《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

1.如图，已知平面α的一个法向量为
n，点A∈α，H∈α，PAα，直线PH⊥
α.若a为直线PA的一个方向向量，则点
P到平面α的距离为( ).

A.$\frac{a.nl}{nl}$
一
B./|PA|2−$\frac{(PA.n)²}{n|2}$
→ 一
C.$\frac{AP.AH}{IAHI}$
一
D.$\frac{PA.PH}{PH}$

答案： 1.D

2.已知正方体ABCD−AlBiClD1的
棱长为α，则平面ABlD1与平面BDC1
的距离为( ).

A.$\sqrt{2}$a
B.$\sqrt{3}$a
C.$\frac{\sqrt{2}}{3}$a
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$a

答案：
2.D
[解析]因为$BD// B_1D_1$，$BC_1// AD_1$，所以平面$AB_1D_1//$平面$BDC_1$，它们的距离可转化为点B到平面$AB_1D_1$的距离，建立如图所示的空间直角坐标系，则$A(a,0,0)$，$B(a,a,0)$，$B_1(a,a,a)$，$D_1(0,0,a)$，$\overrightarrow{AB_1}=(0,a,a)$，$\overrightarrow{B_1D_1}=(-a,-a,0)$，$\overrightarrow{BA}=(0,-a,0)$。设平面$AB_1D_1$的法向量为$\vec{n}=(x,y,z)$，由$\begin{cases} ay + az = 0 \\ -ax - ay = 0 \end{cases}$，得$\begin{cases} y = -z \\ y = -x \end{cases}$。取$y = -1$，得平面$AB_1D_1$的一个法向量为$\vec{n}=(1,-1,1)$，则两平面间的距离$d=\frac{|\overrightarrow{BA}· \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$。

3.已知点O(0，0，0)，A(2，4,
6)，B(6,0,0)，C(3，6，3)，则点C
到直线OB的距离为________，点A到平
面OBC的距离为________.

答案： 3.$3\sqrt{5}$；$\frac{8}{5}\sqrt{5}$
方法总结
用向量法求点到直线的距离的一般步骤如下：
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的单位方向向量$\vec{u}$；
(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量$\vec{a}$；
(4)利用公式$PQ=\sqrt{\vec{a}^2-(\vec{a}· \vec{u})^2}$计算点到直线的距离。

1.(多选)在棱长为1的正方体
ABCD−ABlClD1中，M，N分别是线
段BB1，B1C1的中点，则( ).

A.MN//平面ACD1
B.MN⊥平面ACD1
C.点M到平面ACD1的距离为$\frac{√2}{2}$
D.直线MN到平面ACD1的距离
为$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案：
1.AD
[解析]如图，以D为坐标原点，$DA$，$DC$，$DD_1$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴，建立空间直角坐标系。

由图可得$D(0,0,0)$，$C(0,1,0)$，$D_1(0,0,1)$，$M(1,1,\frac{1}{2})$，$A(1,0,0)$
所以$\overrightarrow{AM}=(0,1,\frac{1}{2})$，$\overrightarrow{AC}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{AD_1}=(-1,0,1)$
设平面$ACD_1$的法向量为$\vec{n}=(x,y,z)$
则$\begin{cases} \vec{n}· \overrightarrow{AC}=0 \\ \vec{n}· \overrightarrow{AD_1}=0 \end{cases}$，即$\begin{cases} -x + y = 0 \\ -x + z = 0 \end{cases}$
令$x = 1$，则$y = z = 1$，所以$\vec{n}=(1,1,1)$
所以点M到平面$ACD_1$的距离$d=\frac{|\overrightarrow{AM}· \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
又$\overrightarrow{MN}// \overrightarrow{AD_1}$，且$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD_1}$
故$MN//$平面$ACD_1$
故直线MN到平面$ACD_1$的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。

2.如图，在棱长为1的正方体
ABCD−AlBlClD1中，平面ABlC与平
面AiClD的距离d是( ).

A.$\frac{√3}{6}$
B.$\frac{√3}{3}$
C.$\frac{2√3}{3}$
D.$\frac{√3}{2}$

答案：
2.B
[解析]如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，连接$BD_1$，$BD$，$BD$交$AC$于点E，则$B(1,1,0)$，$D(0,0,0)$，$D_1(0,0,1)$，$E(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$。

因为$DD_1\perp AC$，$AC\perp BD$
所以$AC\perp$平面$D_1DB$，所以$BD_1\perp AC$
同理可证$BD_1\perp AB_1$
因为$AC\cap AB_1 = A$，所以$BD_1\perp$平面$AB_1C$，即$\overrightarrow{BD_1}$是平面$AB_1C$的一个法向量
因为平面$AB_1C//$平面$A_1C_1D$
所以点D到平面$AB_1C$的距离即为两平面之间的距离
因为$\overrightarrow{DE}=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$，$\overrightarrow{BD_1}=(-1,-1,1)$，所以$d=\frac{|\overrightarrow{DE}· \overrightarrow{BD_1}|}{|\overrightarrow{BD_1}|}=\frac{\frac{1}{2}×(-1)+\frac{1}{2}×(-1)+0×1}{\sqrt{1 + 1 + 1}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。