《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

例 求分别满足下列条件的直线$l$的一般式方程：
（1）经过两点$A(2,1)$，$B(m,2)$，其中$m\in\mathbf{R}$；
（2）斜率为$\frac{4}{3}$，且与两坐标轴围成的三角形的面积为$6$；
（3）经过点$P(-4,3)$，且在两坐标轴上的截距相等.

答案： 分析：（1）可利用直线的两点式方程求得.（2）先设出直线在$y$轴上的截距，再利用直线的截距式方程，由三角形的面积加以确定.（3）可利用直线的截距式方程求得.
解：（1）当$m = 2$时，直线$l$的方程为$x = 2$.
当$m\neq2$时，直线$l$的方程为$y - 1 = \frac{1}{m - 2}(x - 2)$，整理得$x + (2 - m)y + m - 4 = 0$.
（2）设直线$l$的方程为$y = \frac{4}{3}x + b$.
令$x = 0$，解得$y = b$；令$y = 0$，解得$x = -\frac{3}{4}b$.
由已知条件，得$S = \frac{1}{2}|b|×|-\frac{3}{4}b| = 6$，解得$b = \pm4$.
所以直线$l$的方程为$4x - 3y + 12 = 0$或$4x - 3y - 12 = 0$.
（3）当直线$l$经过原点时，直线$l$的方程为$3x + 4y = 0$.
当直线$l$不经过原点时，可设其方程为$\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$，将点$P$的坐标代入，得
$\frac{-4}{a} + \frac{3}{a} = 1$，
解得$a = -1$.
所以直线$l$的方程为$x + y + 1 = 0$.
评析：利用两点式或点斜式求直线方程时都要注意斜率不存在的情况. 当直线满足某些条件时，可利用待定系数法设出直线方程，从而将直线所满足的几何条件代数化.

1. 若直线$mx + 3y - m - 5 = 0$经过连接$A(1,-2)$，$B(3,6)$两点的线段的中点，则$m$的值为__________.

答案： 1. -1
【解析】连接 A(1,-2)，B(3,6)两点的线段的中点为 (2,2)，由题意，该点在直线上，所以 2m + 3×2 - m - 5 = 0，所以 m = -1.

2. 若直线$x - 2y + 5 = 0$与直线$2x + my - 6 = 0$垂直，则实数$m =$__________.

答案： 2. 1
【解析】直线 x - 2y + 5 = 0 的斜率为 $\frac{1}{2}$，直线 2x + my - 6 = 0 的斜率为 - $\frac{2}{m}$，由于两直线垂直，故 $\frac{1}{2}$ × (- $\frac{2}{m}$) = -1.所以 m = 1.
方法总结
一般式下两直线平行、垂直的充要条件如下.
直线 l₁:A₁x + B₁y + C₁ = 0，直线 l₂:A₂x + B₂y + C₂ = 0，
(1)l₁//l₂ ⇔ A₁B₂ - A₂B₁ = 0 且 B₁C₂ - B₂C₁ ≠ 0(或 A₁C₂ - A₂C₁ ≠ 0).
(2)l₁⊥l₂ ⇔ A₁A₂ + B₁B₂ = 0.

3. 点$A(4,5)$关于直线$l$的对称点为$B(-2,7)$，则直线$l$的方程为__________.

答案： 3. 3x - y + 3 = 0
【解析】由题意知，AB 的中点为 ($\frac{4 - 2}{2}$,$\frac{5 + 7}{2}$)，即 (1,6)在直线 l 上，k_{AB} · k₁ = -1.而 k_{AB} = $\frac{7 - 5}{-2 - 4}$ = - $\frac{1}{3}$，所以 k₁ = 3.由点斜式可得直线 l 的方程为 y - 6 = 3(x - 1)，即 3x - y + 3 = 0.

1. 不论$m$为何实数，直线$mx - y + 3m + 2 = 0$恒过定点__________.

答案： 1. (-3,2)

2. 已知直线$l$与直线$l_1:y = 1$，$l_2:x - y - 7 = 0$分别交于点$P$，$Q$. 若线段$PQ$的中点为$M(1,-1)$，则直线$l$的方程为__________.

答案： 2. 2x + 3y + 1 = 0
【解析】根据题意可设 P(a,1)，点 P,Q 关于点 M 对称，则 Q(2 - a,-3).
由点 Q 在直线 l₂ 上，得 2 - a + 3 - 7 = 0，a = -2，故 P(-2,1)，所以直线 l 的斜率为 k = $\frac{1 - (-1)}{-2 - 1}$ = - $\frac{2}{3}$.
又因为直线过 M(1,-1)，故直线方程为 y + 1 = - $\frac{2}{3}$(x - 1)，即 2x + 3y + 1 = 0.

3. 设$\triangle ABC$的顶点为$A(7,-1)$，$\angle B$的平分线所在直线的方程为$x = 1$，$AB$边上的中线所在直线的方程为$x - 4y + 4 = 0$，求$BC$边所在直线的方程.

答案：
3. 如图，设 AB 边的中点为 D(x₀,y₀)，则 B(2x₀ - 7,2y₀ + 1)，所以
$\begin{cases} 2x₀ - 7 = 1, \\ x₀ - 4y₀ + 4 = 0. \end{cases}$
解得$ \begin{cases} x₀ = 4, \\ y₀ = 2, \end{cases}$
所以 B(1,5).
又因为 A(7,-1)关于直线 x = 1 的对称点为 A'(-5,-1)，所以点 A'在直线 BC 上，$k_{BC} = k_{A'B} = 1.$所以 BC 所在直线就是 A'B 所在直线，可求得直线 BC 的方程为 x - y + 4 = 0.