《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

4. 如图所示，船行进前方的河道上有一座圆拱桥，正常水位时，圆拱最高点距水面 $ 9 $ m，圆拱内水面宽 $ 22 $ m，船体在水面以上部分高 $ 6.5 $ m，船顶部宽 $ 4 $ m，此时船可以通行无阻. 近日水位暴涨了 $ 2.7 $ m，船已经不能通过桥洞了，船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，那么船身至少降低多少才能保证船顶与桥拱距离小于 $ 0.5 $ m，使船安全通过桥洞（精确到 $ 0.01 $ m）?

答案： 解：
1. 建立坐标系：以正常水位水面中点为原点，水面为x轴，竖直方向为y轴。圆拱最高点(0,9)，水面与圆交点(-11,0),(11,0)。
2. 设圆方程：$x^2+(y-b)^2=r^2$，圆心(0,b)。代入(0,9)和(11,0)得：
$(9-b)^2=r^2$，$11^2+b^2=r^2$。解得$b=-\frac{20}{9}$，$r=\frac{101}{9}$。
3. 新水位：上涨2.7m，新水面y=2.7。船顶宽4m，边缘点(±2,2.7+h)，h为船顶在新水面以上高度。
4. 求桥拱在x=2处y坐标：代入圆方程$2^2+(y+\frac{20}{9})^2=(\frac{101}{9})^2$，解得$y≈8.8208$。
5. 距离条件：$8.8208-(2.7+h)＜0.5$，解得$h＞5.6208$。
6. 降低高度：原水面以上6.5m，需降低$6.5-5.6208≈0.88$m。
0.88

如图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面 $ 2 $ m，水面宽 $ 12 $ m，当水面下降 $ 1 $ m 后，水面宽为______ m.

答案： 能力提升
$2\sqrt{51}$
[解析]以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为$y$轴，建立平面直角坐标系(图略)，设圆心为$C$，水面所在弦的端点为$A$，$B$，则由已知得$A(6,-2)$，$B(-6,-2)$。
设圆的半径为$r$，则$C(0,-r)$，
即圆的方程为$x^{2}+(y + r)^{2}=r^{2}$。
将点$A$的坐标$(6,-2)$代入圆的方程，
解得$r = 10$。
所以圆的方程为$x^{2}+(y + 10)^{2}=100$。
当水面下降$1m$后，可设点$A'$的坐标为$(x_{0},-3)(x_{0}＞0)$，将$A'$的坐标$(x_{0},-3)$代入圆的方程，求得$x_{0}=\sqrt{51}$。所以水面下降$1m$后，水面宽为$2x_{0}=2\sqrt{51}(m)$。