《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

例 求圆心在直线 $ y = 2x $ 上，且与直线 $ l:x + y + 1 = 0 $ 相切于点 $ M(1,-2) $ 的圆的标准方程.

答案： 分析：要求圆的方程，需求出圆心坐标与半径. 由圆心在直线 $ y = 2x $ 上，可设圆心为 $ (a,2a) $. 由已知条件可知，圆心到直线 $ l $ 的距离等于半径，切点 $ M $ 在圆上，由此列方程组可求解.
解：依题意，可设圆心为 $ (a,2a) $，于是所求圆的标准方程为 $ (x - a)^2 + (y - 2a)^2 = r^2 $.
因为直线 $ l:x + y + 1 = 0 $ 与圆相切，所以圆心 $ (a,2a) $ 到直线 $ l:x + y + 1 = 0 $ 的距离等于圆的半径，从而
$\frac{|a + 2a + 1|}{\sqrt{2}} = r.$
又因为切点 $ M(1,-2) $ 在圆上，所以
$(1 - a)^2 + (-2 - 2a)^2 = r^2.$
解方程组
$\left\{\begin{array}{l}(1 - a)^2 + (-2 - 2a)^2 = r^2, \frac{|a + 2a + 1|}{\sqrt{2}} = r,\end{array}\right.$
得 $ a = -3 $，$ r = 4\sqrt{2} $.
故所求圆的方程为 $ (x + 3)^2 + (y + 6)^2 = 32 $.
评析：用待定系数法求圆的方程是通法，解决此类问题时，通常先设出圆的标准方程，再根据圆心与半径所满足的条件，列出圆心坐标与半径所满足的关系式即可求解. 另外，适当运用圆的一些几何性质，有时可起到简化运算的作用. 例如，本例就可以根据“过切点与切线垂直的直线必过圆心”这一几何性质，先求出该直线的方程，于是圆心就是这条直线与直线 $ y = 2x $ 的交点，进而求出圆心；再求出切点 $ M(1,-2) $ 到圆心的距离从而得到圆的半径，这样就能直接写出圆的标准方程. 具体解答过程如下.
根据题意，可求得过切点 $ M(1,-2) $ 且与切线 $ l:x + y + 1 = 0 $ 垂直的直线方程为 $ y = x - 3 $，由切线的几何意义可知该直线过圆心，所以圆心的坐标满足方程组
$\left\{\begin{array}{l}y = 2x, \\y = x - 3,\end{array}\right.$
解之，得圆心为 $ (-3,-6) $.
切点 $ M(1,-2) $ 到圆心的距离即为圆的半径，从而求出圆的半径
$r = \sqrt{(1 + 3)^2 + (-2 + 6)^2} = 4\sqrt{2}.$
故所求圆的方程为 $ (x + 3)^2 + (y + 6)^2 = 32 $.