《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

例 已知 $ A(4, 0) $，$ B(-1, 5) $，直线 $ l: 3x + 4y - 2 = 0 $，求一点 $ P $，使 $ |PA| = |PB| $，且点 $ P $ 到直线 $ l $ 的距离等于 $ 1 $.

答案： 分析：由题意可知，点 $ P $ 在线段 $ AB $ 的垂直平分线上，因此先求出该垂直平分线的方程，根据该方程只要设一个未知数就可以表示出点 $ P $ 的横坐标和纵坐标，再利用点 $ P $ 到直线 $ l $ 的距离为 $ 1 $ 列方程，解这个方程可得到点 $ P $ 的坐标.
解：因为 $ A(4, 0) $，$ B(-1, 5) $ 两点的中点为 $ M(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}) $，$ k_{AB} = -1 $，所以线段 $ AB $ 的垂直平分线的方程为 $ y = x + 1 $.
因为点 $ P $ 在线段 $ AB $ 的垂直平分线上，故可设点 $ P(x, x + 1) $.
由点 $ P(x, x + 1) $ 到直线 $ l: 3x + 4y - 2 = 0 $ 的距离为 $ 1 $，得 $ \frac{|3x + 4(x + 1) - 2|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 1 $，解得 $ x = \frac{3}{7} $ 或 $ x = -1 $.
所以点 $ P $ 的坐标为 $ (\frac{3}{7}, \frac{10}{7}) $ 或 $ (-1, 0) $.
评析：本例中待求的点 $ P $ 满足两个条件，解决此类问题的基本思路如下. 先设点 $ P $ 的坐标（分别设点 $ P $ 的横坐标和纵坐标），并根据所给的两个条件得到二元方程组，解方程组即可. 但使用这种方法时，运算往往比较复杂. 为了简化运算，通常在设点 $ P $ 的坐标时，先利用一个条件得到点 $ P $ 的横坐标和纵坐标之间的关系，这样只要设一个未知数就可以表示点 $ P $ 的横坐标和纵坐标了，然后利用另一个条件求这个未知数.