《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

例 如图 1.1 - 1，在四面体 $ ABCD $ 中，$ E $，$ F $ 分别是棱 $ BC $，$ AD $ 的中点.
（1）化简 $ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{CD} $；
（2）用 $ \overrightarrow{AB} $，$ \overrightarrow{AC} $，$ \overrightarrow{AD} $ 表示 $ \overrightarrow{EF} $.

答案： 分析：（1）将 $ -\overrightarrow{CD} $ 转化为 $ \overrightarrow{DC} $，利用向量加法的三角形法则即可进行化简.
（2）观察图形，并注意到向量 $ \overrightarrow{AE} (\overrightarrow{EA}) $，$ \overrightarrow{AF} (\overrightarrow{FA}) $ 都可以用向量 $ \overrightarrow{AB} $，$ \overrightarrow{AC} $，$ \overrightarrow{AD} $ 表示，故利用向量加法的三角形法则，将向量 $ \overrightarrow{EF} $ “分解”为 $ \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AF} $ 即可求解.
解：（1）$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{CD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}) + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} $.
（2）$ \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AF} $
$ = -\overrightarrow{AE} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} $
$ = -\frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) + \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} $
$ = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} $.
评析：向量加法法则包括三角形法则和平行四边形法则，应用时要根据具体问题的特点灵活选择.