《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

例 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点分别是$F_1(0,-2)$，$F_2(0,2)$，椭圆上的一点$P$满足$\triangle PF_1F_2$的周长为$12$；
（2）焦点在坐标轴上，且经过点$A(-3,\sqrt{3})$，$B(\sqrt{3},-\sqrt{5})$.

答案： 分析：求椭圆的标准方程时，首先要根据焦点所在坐标轴的条件设出合适的方程形式，进而求出$a$，$b$. （1）由焦点坐标可以确定$c$，因为$\triangle PF_1F_2$的周长由焦距和$\vert PF_1\vert+\vert PF_2\vert$两部分组成，所以可以确定$a$，进而结合$c$求出$b$. （2）由椭圆经过两点，可以列出一个关于$a$，$b$的二元二次方程组，解之可求出$a$，$b$.
解：（1）因为椭圆的两个焦点在$y$轴上，所以可设它的标准方程为$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a＞b＞0)$.
因为$\triangle PF_1F_2$的周长为$12$，所以$\vert PF_1\vert+\vert PF_2\vert+\vert F_1F_2\vert=12$.
由$2c = \vert F_1F_2\vert = 4$，得$\vert PF_1\vert+\vert PF_2\vert=8$. 由椭圆的定义知$a = 4$，所以$b^2=a^2-c^2=12$.
所以，所求椭圆的标准方程为$\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{12}=1$.
（2）①当椭圆焦点在$x$轴上时，设椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a＞b＞0)$.
由题意，得
$\begin{cases}\frac{9}{a^2}+\frac{3}{b^2}=1 \frac{3}{a^2}+\frac{5}{b^2}=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}a^2=18 \\ b^2=6\end{cases}$.
所以椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{6}=1$.
②当椭圆焦点在$y$轴上时，设椭圆的标准方程为$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a＞b＞0)$.
由题意，得
$\begin{cases}\frac{3}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1 \frac{5}{a^2}+\frac{3}{b^2}=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}a^2=6 \\ b^2=18\end{cases}$，不符合条件$a＞b＞0$，此时无解.
综上所述，所求椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{6}=1$.
评析：（2）中椭圆的焦点可能在$x$轴或$y$轴上，一般需分类讨论. 在解决实际问题时，为了避免分类讨论，可设椭圆的方程为$mx^2+ny^2=1(m＞0,n＞0$且$m\neq n)$，结合题中条件求出$m$，$n$的值.