《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

变式：在平行六面体 ABCD - A₁B₁C₁D₁ 中，AB = 1，AD = 2，AA₁ = 3，点 E 在平面 A₁B₁C₁D₁ 内，且$\overrightarrow{AE}=\lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}+\frac{\overrightarrow{AA_1}}{|\overrightarrow{AA_1}|})$，则$\lambda=$______.

答案： 提示与答案：因为点 E 在平面 A₁B₁C₁D₁ 内，由向量的加法法则可得，存在实数 x，y，使得$\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}$，而$\overrightarrow{AE}=\lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}+\frac{\overrightarrow{AA_1}}{|\overrightarrow{AA_1}|})$，根据空间向量基本定理可得$\overrightarrow{AA_1}=\frac{\lambda}{|\overrightarrow{AA_1}|}\overrightarrow{AA_1}$，即$\lambda = 3$.

1. 在长方体 ABCD - A₁B₁C₁D₁ 中，AB = 1，AD = 2，AA₁ = 3，则下列构成空间的一个单位正交基底的是（ ）.

A.{$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AC_1}$}
B.{$\overrightarrow{AB}$，$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\frac{\sqrt{14}}{14}\overrightarrow{AC_1}$}
C.{$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AA_1}$}
D.{$\overrightarrow{AB}$，$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\frac{1}{3}\overrightarrow{AA_1}$}

答案： 1. D

2. 已知 {a，b，c} 是空间的一个基底，则下列向量中可以与向量 p = a + b，q = b + c 构成空间另一个基底的是（ ）.

A.a + c
B.a - c
C.a + 2b + c
D.2a - 2c

答案： 2. A

3. 已知 O，A，B，C 为空间四点，且$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$不能构成空间的一个基底，则（ ）.

A.$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$共线
B.$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$共线
C.O，A，B，C 共面
D.A，B，C 共线

答案： 3. C

4. 已知 {a，b，c} 是空间的一个基底，p = a + 2b + 4c，x = a + b，y = b + c，z = a + c. 若 p = mx + ny + tz，则 m = ______，n = ______.

答案： 4. $- \frac{1}{2} ; \frac{5}{2}$

5. 如图，在空间四边形 OABC 中，点 G 为△ABC 的重心，D 为线段 BC 的中点，H 为线段 OD 的中点.
（1）用向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$表示$\overrightarrow{OG}$；
（2）用向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$表示$\overrightarrow{GH}$.

答案： 5.
(1)$\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}( \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$.
(2)$\overrightarrow{GH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OG} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OG} = \frac{1}{4}( \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) - ( \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OC}) = - \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} - \frac{1}{12}\overrightarrow{OB} - \frac{1}{12}\overrightarrow{OC}$.