《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

3.如图，在四棱锥P|ABCD中，侧
面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=
$\sqrt{2}$，底面ABCD为直角梯形，其中BC//
AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,
O为AD的中点.试问:在线段AD上是
否存在点Q，使点Q到平面PCD的距离
为$\frac{\sqrt{3}}{2}$？若存在，求出$\frac{AQ}{QD}$的值;若不存在，
说明理由.

答案：
3.因为$PA = PD$，$O$为$AD$的中点，所以$PO\perp AD$
又侧面$PAD\perp$底面$ABCD$，平面$PAD\cap$底面$ABCD = AD$，所以$PO\perp$底面$ABCD$。连接$OC$，建立如图所示的空间直角坐标系，

易得$C(1,0,0)$，$D(0,1,0)$，$P(0,0,1)$
所以$\overrightarrow{CP}=(-1,0,1)$，$\overrightarrow{CD}=(-1,1,0)$
假设在线段$AD$上存在点$Q$，使点$Q$到平面$PCD$的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$
设$Q(0,y,0)(-1\leq y\leq1)$，则$\overrightarrow{CQ}=(-1,y,0)$
设平面$PCD$的法向量为$\vec{n}=(x_0,y_0,z_0)$
则$\begin{cases} \vec{n}· \overrightarrow{CP}=0 \\ \vec{n}· \overrightarrow{CD}=0 \end{cases}$，则$\begin{cases} -x_0 + z_0 = 0 \\ -x_0 + y_0 = 0 \end{cases}$
取$x_0 = 1$，则平面$PCD$的一个法向量为$\vec{n}=(1,1,1)$
所以点$Q$到平面$PCD$的距离$d=\frac{|\overrightarrow{CQ}· \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|-1 + y|}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
所以$y = -\frac{1}{2}$或$y=\frac{5}{2}$（舍去）
此时$AQ=\frac{1}{2}$，$QD=\frac{3}{2}$
所以存在点$Q$满足题意，此时$\frac{AQ}{QD}=\frac{1}{3}$。