《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

例 如图 1.2 - 1，已知平行六面体 ABCD - A₁B₁C₁D₁，点 E 为 AB₁ 与 A₁B 的交点，点 G 为△A₁BB₁ 的重心.
（1）用向量$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DD_1}$表示$\overrightarrow{DG}$；
（2）{$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DD_1}$，$\overrightarrow{DE}$}是否构成空间的一个基底？
（3）求$\overrightarrow{DG}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{DD_1}+z\overrightarrow{DE}$中 x，y，z 的值.

答案： 分析：（1）$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DD_1}$是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底{$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DD_1}$}，利用向量加法的三角形法则，可以把$\overrightarrow{DG}$用这个基底表示出来.
（2）根据基底的定义，只需判断$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DD_1}$，$\overrightarrow{DE}$不共面，将$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DD_1}$，$\overrightarrow{DE}$适当平移，使得它们的起点相同，再借助平行六面体即可直观判断. （3）根据（2）的结论得出 x，y，z 的值.
解：（1）$\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AG}$
$=\overrightarrow{DA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB_1}$
$=\overrightarrow{DA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{DC_1}$
$=\overrightarrow{DA}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DD_1})$
$=\overrightarrow{DA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{DD_1}$.
（2）因为$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，观察图形可知，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DD_1}$，$\overrightarrow{DE}$是三个不共面的向量，所以 {$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DD_1}$，$\overrightarrow{DE}$} 可以构成空间的一个基底.
（3）$\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EG}$
$=\overrightarrow{DE}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AB_1}$
$=\overrightarrow{DE}+\frac{1}{6}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA_1})$
$=\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{DE}$.
结合空间向量基本定理可得 $x=\frac{1}{6}$，$y=\frac{1}{6}$，$z = 1$.
评析：此类问题可先根据空间向量基本定理判定解法的可行性，再观察图形，结合向量的加法、减法、数乘运算解决问题.