《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

例 如图 1.3 - 3，在四棱锥 $P - ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是边长为 $2$ 的正方形. $PD\perp$ 底面 $ABCD$，$PD = DC$，$E,F$ 分别为 $AD$，$PB$ 的中点.
（1）求证：$EF\perp PB$；
（2）求直线 $PE$ 与 $CF$ 所成的角的余弦值.


变式：本例中，侧棱 $PB$ 上是否存在点 $G$，使 $EG//$ 平面 $CDF$？

答案： 分析：（1）由于 $DA,DC,DP$ 两两垂直，因此可以建立如图 1.3 - 3 所示的空间直角坐标系，求出 $E,F,P,B$ 各点的坐标，证明 $\overrightarrow{EF}·\overrightarrow{PB}=0$ 即可.（2）求出 $\overrightarrow{PE}$，$\overrightarrow{CF}$ 的坐标，代入向量夹角公式即可求得.解：（1）以 $D$ 为原点，$DA,DC,DP$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，建立如图 1.3 - 3 所示的空间直角坐标系，则 $D(0,0,0)$，$A(2,0,0)$，$B(2,2,0)$，$C(0,2,0)$，$P(0,0,2)$，$E(1,0,0)$，$F(1,1,1)$，所以 $\overrightarrow{EF}=(0,1,1)$，$\overrightarrow{PB}=(2,2,-2)$.所以 $\overrightarrow{EF}·\overrightarrow{PB}=(0,1,1)·(2,2,-2)=0$.所以 $\overrightarrow{EF}\perp\overrightarrow{PB}$，即 $EF\perp PB$.（2）因为 $\overrightarrow{PE}=(1,0,-2)$，$\overrightarrow{CF}=(1,-1,1)$，所以$\begin{aligned}\vert\overrightarrow{PE}\vert&=\sqrt{5},\vert\overrightarrow{CF}\vert=\sqrt{3},\\\overrightarrow{PE}·\overrightarrow{CF}&=1 - 2=-1.\end{aligned}$$\begin{aligned}\cos\langle\overrightarrow{PE},\overrightarrow{CF}\rangle&=\frac{\overrightarrow{PE}·\overrightarrow{CF}}{\vert\overrightarrow{PE}\vert\vert\overrightarrow{CF}\vert}\\&=\frac{-1}{\sqrt{5}×\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{15}}{15}.\end{aligned}$所以直线 $PE$ 与 $CF$ 所成的角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{15}$.评析：建立空间直角坐标系后，证明垂直关系、计算角度的关键是写出相应点的坐标，再借助向量的运算解决问题. 另外，本题还可以用综合几何方法求解，具体地，对于（1），可以通过计算先证明 $PE = EB$，从而得出 $EF\perp PB$. 对于（2），可取 $BE$ 的中点 $M$，则 $PE// FM$，进而在 $\triangle FMC$ 中求得结果.
@@提示与答案：假设存在点 $G$，设 $\overrightarrow{BG}=\lambda\overrightarrow{BP}(0\leqslant\lambda\leqslant1)$，则 $G(2 - 2\lambda,2 - 2\lambda,2\lambda)$，所以 $\overrightarrow{EG}=(1 - 2\lambda,2 - 2\lambda,2\lambda)$，$\overrightarrow{DC}=(0,2,0)$，$\overrightarrow{DF}=(1,1,1)$.若 $EG//$ 平面 $CDF$，则存在实数 $m,n$，使 $\overrightarrow{EG}=m\overrightarrow{DC}+n\overrightarrow{DF}$，所以$\begin{cases}1 - 2\lambda = n,\\2 - 2\lambda = 2m + n,\\2\lambda = n,\end{cases}$解得$\begin{cases}\lambda=\frac{1}{4},\\m=\frac{1}{2},\\n=\frac{1}{2}.\end{cases}$所以存在点 $G$，且 $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BP}$.