《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

1.已知直线l1，L2的方向向量分别
为(−2，1，5)， (4,a，b).若l1//l2,
则a+b=( ).

A.3
B.−3
C.12
D.−12

答案： 1.D
[解析]因为$l_1// l_2$，所以存在实数$\lambda$，使$(4,a,b)=\lambda(-2,1,5)$，即$\begin{cases} 4=-2\lambda \\ a=\lambda \\ b=5\lambda \end{cases}$
所以$\begin{cases} \lambda=-2 \\ a=-2 \end{cases}$，所以$a + b=-12$。

2.已知直线l的方向向量为(3，m，
1)，平面α的一个法向量为(1，1，3).
若l//α，则m的值为________.

答案： 2.-6
[解析]由题意，得$(3,m,1)·(1,1,3)=0$
即$m + 6 = 0$，所以$m = -6$。

3.如图，在直三棱柱ABC−AlBlC1
中，∠ACB=90°,BC=2,CC1=4,
AC=4，D，E，F分别为AB，BC,
BB1的中点，G为CC1上的点，且CG=1.
求证:平面DEG//平面AlClF.

答案： 3.如题图，以C为原点，$CA$，$CB$，$CC_1$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴，建立空间直角坐标系。设$\vec{n_1}=(x_1,y_1,z_1)$是平面DEG的法向量，则$\vec{n_1}\perp \overrightarrow{DE}$，$\vec{n_1}\perp \overrightarrow{EG}$，所以$\begin{cases} \vec{n_1}· \overrightarrow{DE}=-2x_1=0 \\ \vec{n_1}· \overrightarrow{GE}=-y_1+z_1=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x_1=0 \\ z_1=y_1 \end{cases}$。取$y_1 = 1$，则$z_1 = 1$
则$\vec{n_1}=(0,1,1)$是平面DEG的一个法向量。同理可得，$\vec{n_2}=(0,1,1)$是平面$A_1C_1F$的一个法向量。因为$\vec{n_1}=\vec{n_2}$，所以平面DEG$//$平面$A_1C_1F$。
方法总结
利用空间向量证明两个平面平行的方法。
(1)直接证明法：建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，证明两个法向量平行；
(2)间接证明法：根据两个平面平行的判定定理，把证明两个平面平行转化为证明线面平行或线线平行，再利用空间向量证明。