《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学选择性必修第一册人教版》

例 已知两点 $ A(3, 4) $，$ B(5, -2) $.
（1）求在坐标轴上且与 $ A $，$ B $ 两点距离相等的点 $ P $ 的坐标；
（2）若点 $ P $ 在 $ x $ 轴上，且满足 $ \angle APB = 90° $，求点 $ P $ 的坐标.

答案： 分析：（1）所求点既可能在 $ x $ 轴上也可能在 $ y $ 轴上，可分情况设出点的坐标，再利用距离公式求解.（2）设出点 $ P $ 的坐标，利用勾股定理可求解.
解：（1）若点 $ P $ 在 $ x $ 轴上，可设 $ P(x, 0) $. 由 $ |PA| = |PB| $，得 $ \sqrt{(x - 3)^2 + 16} = \sqrt{(x - 5)^2 + 4} $，解得 $ x = 1 $，从而 $ P(1, 0) $.
若点 $ P $ 在 $ y $ 轴上，可设 $ P(0, y) $. 由 $ |PA| = |PB| $，得 $ \sqrt{9 + (y - 4)^2} = \sqrt{25 + (y + 2)^2} $，解得 $ y = -\frac{1}{3} $，从而 $ P(0, -\frac{1}{3}) $.
综上，点 $ P $ 的坐标为 $ (1, 0) $ 或 $ (0, -\frac{1}{3}) $.
（2）设 $ P(a, 0) $. 在 $ Rt \triangle APB $ 中，$ |PA|^2 + |PB|^2 = |AB|^2 $，即 $ (a - 3)^2 + (0 - 4)^2 + (a - 5)^2 + (0 + 2)^2 = 40 $，解得 $ a = 1 $ 或 $ a = 7 $.
所以点 $ P $ 的坐标为 $ (1, 0) $ 或 $ (7, 0) $.
评析：对于（1），注意到点 $ P $ 在线段 $ AB $ 的垂直平分线上，因此也可以求线段 $ AB $ 的垂直平分线的方程，则垂直平分线与坐标轴的交点就是所求的点.